Encontrar la solución general de un primer orden no lineal en una función trascendental

Question

Tengo la función $$\frac{dV}{dT}=1-V^2$$

Sólo quiero ver si mi trabajo está bien.

$$dV=1-V^2dT$$ $$\frac{1}{1-V^2}dV=dT$$

Integrar

$$\int{}\frac{1}{1-V^2}dV=\int{}dT$$ Dejemos que $V=\tanh(x)$

$\frac{dV}{dx}=sech^2(x)$

$dV=sech^2(x)dx$

$$\int{}\frac{1}{1-\tanh^2(x)}sech^2(x)dx=\int{}dT$$

$1-tanh^2(x)=sech^2(x)$ $$\int{}\frac{1}{sech^2(x)}sech^2(x)dx=\int{}dT$$ $$\int{}\frac{sech^2(x)}{sech^2(x)}dx=\int{}dT$$ $$\int{}\ dx=\int{}\ dT$$ $$x=\int{}dT$$ $V=\tanh(x)$ así que toma $\tanh^{-1}$ de ambos lados para encontrar x $$\tanh^{-1}(V)=x$$ $$\tanh^{-1}(V)=\int{}dT$$ $$=T+C$$ Toma el tanh de ambos lados $$V=\tanh(T+C)$$

Por lo tanto, la solución general de $\frac{dV}{dT}=1-V^2$ es $V=\tanh(T+C)$

Luego se pide la solución particular de esto para cuando t=0, v=0 para V es una función de T. No tengo idea de lo que quieren decir.

Answer 1

Reescritura $$ \begin{align} \int{}\frac{1}{1-V^2}dV&=\frac{1}{2}\int{}\left(\frac{1}{1-V}+\frac{1}{1+V}\right)dV\\ &=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1-V}\ dV+\int\frac{1}{1+V}\ dV\right)\\ &=-\frac{1}{2}\ln(1-V)+\frac{1}{2}\ln(1+V)+C\\ &=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+V}{1-V}\right)+C \end{align} $$ entonces $$ \begin{align} T&=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+V}{1-V}\right)+C\\ \ln\left(\frac{1+V}{1-V}\right)&=2(T-C)\\ \frac{1+V}{1-V}&=e^{2(T-C)}\\ \frac{1+V}{1-V}&=Ke^{2T}\quad\Rightarrow\quad K=e^{-2C}\\ 1+V&=Ke^{2T}-Ke^{2T}V\\ V+Ke^{2T}V&=Ke^{2T}-1\\ (1+Ke^{2T})V&=Ke^{2T}-1\\ V&=\frac{Ke^{2T}-1}{Ke^{2T}+1}. \end{align} $$ Tenga en cuenta que, su solución también es correcta .

Ahora, introduciendo la condición inicial donde $V=0$ cuando $T=0$ . El objetivo de la condición inicial es obtener el valor de $K$ , en su caso $C$ . \begin {align} 0&= \frac {Ke^{2(0)}-1}{Ke^{2(0)}+1} \\ 0&= \frac {K-1}{K+1} \\ K-1&=0 \\ K&=1 \end {align} Así, $$ V(T)=\frac{e^{2T}-1}{e^{2T}+1}. $$