¿Por qué$n\in \mathbb N$ termina$n^n$ con un$3$ en su forma decimal?

Question

¿Por qué$n\in \mathbb N$ termina$n^n$ con un$3$ en su forma decimal?

Realmente no sabía a dónde ir desde aquí, pero pensé que podría usar ese$n^n \equiv 3 \text{ (mod } 10)$,$n^n \equiv 3 \text{ (mod } 5)$ y$n^n \equiv 1 \text{ (mod } 2)$. Desde el$gcd(2,5)=1$ pensé que podría hacer algo con el teorema del resto chino, pero hasta ahora no estoy seguro de cómo.

Preferiría una pista sobre una respuesta completa :)

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Estás en lo correcto : si $k \equiv 1 \mod 2$ $k \equiv 3 \mod 5$ $k \equiv 3 \mod 10$ debe pasar por el CRT.

Por lo tanto, es suficiente para encontrar $n$ tal que $n^n \equiv 3 \mod 5$ y es impar. Por supuesto, $n^n$ es impar si y sólo si $n$ es impar.

Además, $n^n$ ahora se rompe en los casos cuando vayamos a cinco. Si $5$ divide $n$, de curso $n^n$ no puede terminar con $3$. Por lo tanto, $n$ no puede ser un múltiplo de $5$. A continuación, $n^4 \equiv 1 \mod 5$, por el teorema de Fermat. Por lo tanto, vamos a $n \equiv k \mod 4$, $0 \leq k \leq 3$, a continuación,$n^n \equiv n^k \mod 5$. Por último, si $n \equiv l \mod 5$ $n^n \equiv n^k \equiv l^k \mod 5$ donde $0 \leq l < 5$. Ahora, no hay demasiados casos para comprobar : sólo $k = 1$ o $3$ $l = 1,2,3,4$ se van a comprobar. Se puede terminar?