Para una secuencia $\{f_j\}$ de las funciones holomórficas, ¿qué podemos decir dado $ \sum_ {j=1}^ \infty |f_j(0)|$ converge.

Question

En particular, que $\{f_j\}$ una secuencia de funciones holomórficas de $D(0,1)$ a $D(0,1)$ \ $\{0\}$ donde $D(0,1)$ denota el disco de la unidad. Quiero mostrar que si $ \sum_ {j=1}^ \infty |f_j(0)|$ converge, entonces $ \sum_ {j=1}^ \infty f_j(z)^2$ converge absoluta y uniformemente en conjuntos compactos en $D(0,1/3)$ .

Necesito una pista para empezar. Creo que puede haber un teorema relacionado con este tipo de cosas del que no soy consciente.

Answer 1

Supongamos que $u$ es positivo y armónico en $ \mathbb D.$ Luego

$$u(z) \ge \frac {1-|z|}{1+|z|}u(0).$$

Esta es la conocida desigualdad de Harnack desde abajo. Así, usando el principio mínimo para las funciones armónicas, tenemos

$$ \min_ {|z| \le r} u(z) = \min_ {|z|= r} u(z) \ge \frac {1-r}{1+r}u(0).$$

Ahora en nuestro problema cada uno $f_j \ne 0$ en $ \mathbb D,$ para que podamos escribir $f_j= e^{g_j},$ donde $g_j$ es holomórfico en el disco. Además, porque $|f_j| < 1,$ $g_j$ toma la forma $g_j = -(u_j+iv_j),$ donde $u_j$ es positivo y armónico en $ \mathbb D.$

De lo anterior, $u_j \ge (1-1/3)/(1+ 1/3)u_j(0) = u_j(0)/2$ sobre el cierre de $D(0,1/3).$ Así, para $|z| \le 1/3,$

$$|f_j(z)| = e^{- u_j(z)} \le e^{-u_j(0)/2}.$$

Por lo tanto, para tales $z,$ $ \sum |f_j(z)|^2 \le \sum (e^{-u_j(0))/2})^2 = \sum e^{-u_j(0)} = \sum |f_j(0)| < \infty. $ Por Weierstrass M, $ \sum f_j^2$ converge uniformemente en $\{|z| \le 1/3\}.$

Answer 2

Un ejemplo asombroso y muy limpio... Un diagrama con los mapas involucrados:

Deje que $H_+= \{ \mbox {Im }z>0\}$ y $ \psi : H_+ \rightarrow D^*=D \setminus\ {0\}$ ser el mapa de cobertura (universal) $ \psi (z)=e^{iz}$ . Entonces cada uno $f_j: D \mapsto D^*$ se eleva a un mapa $ \hat {f}_j: D \rightarrow H_+$ (único hasta una traducción entera). Que $w_j= \hat {f}_j(0)=x_j+i y_j \in H_+$ . La suposición de que $f_j$ se traduce en $ \sum_j | \psi (w_j)| = \sum_j e^{-y_j}<+ \infty $ .

Ahora, para cada uno $j$ deja $h_j: H_+ \rightarrow D$ ser dado por $h_j(w)=(w-w_j)/(w- \overline {w_j})$ . [Razón: Queremos obtener límites uniformes en la imagen de $ \hat {f_j}$ ]. Luego $h_j \circ \hat {f}_j: D \rightarrow D$ es holomórfico y los mapas $0$ a $0$ . Por el Schwarz Lemma tenemos $|h_j( \hat {f}_j(z))| \leq |z|$ para todos $z \in D$ .

Entonces para $|z|<r<1$ , $v=h_j( \hat {f}_j(z))$ verifica $|v|=r$ y $w= \hat {f}_j(z)= h_j^{-1}(v)= \frac {w_j- v \overline {w_j}}{1-v}=x_j + iy_j \frac {1+v}{1-v}$ . Pero entonces $ \mbox {im } w \geq y_j \frac {1-r}{1+r}$ que para $r<1/3$ rendimientos $ \mbox {im }w \geq y_j \frac {1-1/3}{1+1/3} = \frac12 y_j$ . De donde $$ \sum_j |f_j(z)|^2 = \sum_j | \psi ( \hat {f}_j(z)|^2 \leq \sum_j e^{-2 ( \frac12 y_j)}= \sum_j e^{-y_j}= \sum_j |f_j(0)| < + \infty $$ Convergencia uniforme en los pactos (sólo cambiar $r$ un poco). ¡La condición es óptima! Contra-ejemplos para $r>1/3$ . Esperemos que no haya cometido demasiados errores en el camino...