$(a+b+c)^p-(a^p+b^p+c^p)$ siempre es divisible por ...?

Question

$(a + b + c)^p - (a^p + b^p + c^p)$ siempre es divisible por

(a B C D ) $p - 1\quad$

$a + b + c\quad$ es primo

Puedo resolver esto sustituyendo valores y por el teorema de euler suponiendo que$p\quad$ son primos comunes con$p^2 - 1$.

Pero soy incapaz de resolverlo por expansión nada está funcionando

Answer 1

$(a+b+c)^p-(a^p+b^p+c^p)=(a+b+c)^p-(a+b+c)-(a^p-a)-(b^p-b)-(c^p-c)$

$x^p-x$ 0% mod $p$, lo anterior siempre es divisible por $p$ si o no $a+b+c$ $p$ están primer Co!

Así que la opción (c) es verdadero

(b) y (d) se descartan ajuste $a=1,b=c=2,p=3$

Answer 2

Expansión lo hará, junto con información sobre divisibilidad de ciertos multinomial o coeficientes binómicos por $p$.

Pero es mucho más limpio para utilizar el teorema de Fermat, en la versión que dice $x^p\equiv x\pmod{p}$. Esto es sin restricciones en $x$. Así que en particular se necesita no separar el caso donde es divisible por $a+b+c$ $p$.

Answer 3

$(a+b+c)^p=a^p+b^p+c^p+$ términos que contienen un ${p\choose k}$ donde $1\leq k\leq p-1$. Como sabemos, ${p\choose k}=\frac{p}{k} {p-1\choose k-1}$ y $p$ un primer así $k\nmid p$ (como $k\lt p$), por lo tanto, $\frac{{p-1\choose k-1}}{k}$ es un entero y así $p\mid {p\choose k}$ y por lo tanto, $(a+b+c)^p-a^p+b^p+c^p=$ términos que contienen un ${p\choose k}$ que es divisible por $p$ seguro.