Pregunta con respecto al ejemplo II de Hartshorne (6.5.2)

Question

Deja que$k$ sea un campo, deja$A=k[x,y,z]/\langle xy-z^2\rangle$ y deja que$X=\operatorname{Spec}A$. Deja que$Y:y=z=0$ quiero saber el divisor de$y$

En el libro de Hartshorne, porque$y=0 \Rightarrow z^2=0$ y$z$ genera el ideal máximo del anillo local en el punto genérico de$Y$. Entonces, el divisor de$y$ es$2Y$.

Mi pregunta es

1. $Y$ significa que$V(\langle y,z\rangle)=\{P \in X : \langle y,z\rangle \subseteq P\}$ en$X$?

2. ¿Cuál es el punto genérico de$Y$?

Fuente: Geometría Algebraica, Robin Hartshorne

Answer 1

1. sí. $Y=Spec\ A/(y,z)=k[x, y, z]/(y, z, xy-z^2)=k[x,y,z]/(y,z)$, ya que$xy-z^2$ está en el ideal$(y,z)$

2. El punto genérico de$Y$ es el ideal primordial$(y, z)$.

Para calcular el divisor de$y$ a lo largo de$Y$, observamos el anillo local$A_{(y,z)}$ en el que$x$ se ha invertido, por lo que$y=z^2/x$ en este anillo local y por lo tanto, este anillo local es$k[x,z]_{(z)}$ y luego, como usted dijo,$z$ es un generador del ideal máximo, y$y$ es$z^2$ veces un elemento invertible, por lo que el coeficiente de div (y) a lo largo de$Y$ es$ 2$