El resultado discriminante de un polinomio en una variable no es cero

Question

¿Si la resultante o discriminante de un polinomio no es cero, podemos concluir los puntos críticos son distintos?

Answer 1

No, consideremos por ejemplo $\,x^3+1\,$, cuyo discriminante es $\,\ne 0\,$, sin embargo tiene un doble punto crítico $\,0\,$.

Todo lo que se deduce de un no-$0$ discriminante no tiene que el polinomio sí mismo ceros de multiplicidad $\,\gt 1\,$.

Answer 2

No, no es el caso.

Considerar las ecuaciones cuadráticas,

$$x^2-5x+6=0$$

Ecuación tiene $D\gt0,$

Pero el único punto crítico es $x=\frac{5}{2}$

$$x^2+x+1=0$$

Ecuación tiene $D\lt0,$

Pero el único punto crítico es $x=-\frac{1}{2}$

De hecho, todos la ecuación cuadrática con independencia de su discriminante tiene solamente un punto crítico

$$p(x)=ax^2+bx+c$$

$p'(x)$ será una ecuación lineal en $x$ por lo tanto proporcionando un único punto crítico.

$$p'(x)=2ax+b$$

$$x=-\frac{2a}{b}$$