¿Serie de Bell de un cociente de funciones aritméticas?

Question

Si $f,g$ son funciones multiplicative (con campana serie $F_p(x), G_p(x)$) entonces es $n \mapsto f(n)/g(n)$, ¿cuál es su serie de Bell? (o no hay buena manera para escribir en ellos?)

Creo que no es posible ya que es la composición en el caso de funciones totalmente multiplicative. Solo quiero saber la serie bell $\frac{n}{\varphi(n)}$ y $\sum_{d|n} \frac{\mu(d)^2}{\varphi(d)}$.

Para el primero me $1 + \frac{p}{p-1}\cdot\frac{1}{1-x}$ y el segundo $\tfrac{1}{1-x}\left(1 + \frac{1}{p-1}\right)$ así que de nuevo tengo esta mal.

Answer 1

Usted no necesita una fórmula para su problema, basta con calcular la Campana de la serie de las dos expresiones. En el primer caso, se obtiene una serie geométrica, en el segundo caso una suma finita.

Para $\frac n {\varphi (n)}$: $$1+x \frac p {p-1} + x^2\frac {p^2}{p(p-1)}+\dots = 1+\frac{xp}{p-1} \cdot (1+x+x^2+\dots)= 1+\frac{xp}{(p-1)(1-x)}$$

Para $\frac {\mu(n)^2} {\varphi (n)}$ : $$ 1+x \frac 1 {p-1}$$

Ahora, para obtener su identidad original, usted necesita para componer la segunda con la expresión de la función que es idéntico a uno, por lo que multiplicando con $\frac 1 {1-x}$.

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Tenga en cuenta que para la pregunta general, no hay esperanza para una respuesta simple como esto se relaciona con el producto de Hadamard y de la extracción de la "diagonal" de dos variables de la energía de la serie. comparar: Poder Formal de la serie coeficiente de multiplicación