Determinación de la transformada inversa de laplace usando funciones primitivas

Question

En ¿Cómo se puede demostrar que una función no tiene cerrado de forma integral?, la aceptación de los puntos de respuesta a http://www.sci.ccny.cuny.edu/~ksda/PostedPapers/liouv06.pdf donde uno puede encontrar un corolario por Liouville proporcionando suficiente y condiciones necesarias para la integral:

$$\int{f(t)e^{g(t)}\mathrm dt}$$

ser determinable (mediante funciones elementales y de las operaciones). Ahora, la transformada inversa de Laplace de $s^{a-1}/s^a+\lambda$ está dada por:

$$\mathcal{L}\left\{ \frac{s^{- 1}}{s^+\lambda} \right\} = E_{a,1}(-\lambda t)$$

donde $E_{a,b}(t)$ es el de dos parámetros Mittag-Leffler función que no es una primitiva de la función y se define por:

$$E_{a,b}(t)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{t^k}{\Gamma(ak+b)}}$$

Podemos utilizar Liouville el corolario o algún otro resultado para demostrar que $s^{a-1}/s^a+\lambda$ no tiene una transformada inversa de Laplace, que se pueden expresar en términos de funciones elementales y de las operaciones? En realidad tenemos que demostrar que las siguientes no es una función elemental primitiva:

$$\varphi(t)=\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} e^{st} \frac{s^{a-1}}{s^a+\lambda}\mathrm ds$$

Answer 1

El algoritmo de Risch puede determinar si una función tiene o no una antiderivada elemental. Las integrales definidas, sin embargo, son una cuestión completamente diferente, y no creo que haya mucha teoría acerca de cuándo pueden expresarse como funciones elementales.