En ¿Cómo se puede demostrar que una función no tiene cerrado de forma integral?, la aceptación de los puntos de respuesta a http://www.sci.ccny.cuny.edu/~ksda/PostedPapers/liouv06.pdf donde uno puede encontrar un corolario por Liouville proporcionando suficiente y condiciones necesarias para la integral:
$$\int{f(t)e^{g(t)}\mathrm dt}$$
ser determinable (mediante funciones elementales y de las operaciones). Ahora, la transformada inversa de Laplace de $s^{a-1}/s^a+\lambda$ está dada por:
$$\mathcal{L}\left\{ \frac{s^{- 1}}{s^+\lambda} \right\} = E_{a,1}(-\lambda t)$$
donde $E_{a,b}(t)$ es el de dos parámetros Mittag-Leffler función que no es una primitiva de la función y se define por:
$$E_{a,b}(t)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{t^k}{\Gamma(ak+b)}}$$
Podemos utilizar Liouville el corolario o algún otro resultado para demostrar que $s^{a-1}/s^a+\lambda$ no tiene una transformada inversa de Laplace, que se pueden expresar en términos de funciones elementales y de las operaciones? En realidad tenemos que demostrar que las siguientes no es una función elemental primitiva:
$$\varphi(t)=\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} e^{st} \frac{s^{a-1}}{s^a+\lambda}\mathrm ds$$
