$\int \frac{x^2+4x+4}{(x^2+5x+7)\sqrt{x+2} } dx$

Question

La pregunta es evaluar$$\int \frac{x^2+4x+4}{(x^2+5x+7)\sqrt{x+2} } dx$ $

Intenté volver a escribir la integral como$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}} - \int\frac{x+3}{(x^2+5x+7)\sqrt{x+2}} dx$$ the first integral is simply $ 2 \ sqrt {x +2} $. Intenté usar Integración por partes en la segunda integral pero se complicó. ¿Alguna idea?

Answer 1

Insinuación:

Con la sustitución$x+2=u^2$ tenemos$$\int \frac{x^2+4x+4}{(x^2+5x+7)\sqrt{x+2} } dx=2\int\dfrac{u^4}{u^4+u^2+1}du=2u-2\int\dfrac{u^2+1}{u^4+u^2+1}du$ $ para el segundo denominador de escritura como$$u^4+u^2+1=(u^2+\dfrac12)^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2=\left(u^2+\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(u^2+\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)$ $ y usamos la descomposición de las fracciones.

Answer 2

Espero que esto ayude. Aquí he usado la sustitución, las fracciones parciales y la fórmula para la integración de (1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2)). ( https://i.stack.imgur.com/dAtHp.jpg )