Transformación natural

Question

Estoy tratando de entender lo que es una transformación natural. Para este fin, quiero mostrar el siguiente:

Para cada grupo de $H$ el mapa de $G \mapsto H \times G$ define un functor $H \times -:\textbf{Grp} \to \textbf{Grp}$, y para cada grupo de homomorphism $f: H \to K$ no es una transformación natural $H \times - \to K \times -$.

La definición de la transformación natural es la siguiente: Deje $C,D$ dos categorías y $F,G: C \to D$ dos functors. A continuación, una transformación natural $\eta$ es una colección de morfismos $(\eta_A)_{A \in \text{Obj}(C)}$ tal que para todos los objetos de $A,B \in \text{Obj}(C)$ y todos los morfismos $\alpha : A \to B$ tenemos $$ \eta_B \circ F(\alpha) = G(\alpha) \circ \eta_A$$

Deje $f: H \to K$ ser un grupo homomorphism. A continuación, definimos $\eta_G$ a ser el mapa $G \times H \to G \times K$, $(g, h) \mapsto (g,f(h)) $ y del mismo modo $\eta_{G^\prime}: G^\prime \times H \to G^\prime \times K$, $(g^\prime, h) \mapsto (g^\prime, f(h))$.

Deje $\alpha : G \to G^\prime$ ser un grupo homomorphism y deje $(g,h) \in G \times H$. A continuación,$ \eta_{G^\prime} \circ (\times H (\alpha)) (g,h) = \eta_{G^\prime} (\alpha(g), h) = (\alpha(g), f(h))$.

También, para $(g, h) \in G \times H$ tenemos $(\times K (\alpha)) \circ \eta_G ((g,h)) = (\times K (\alpha)) ((g, f(h))) = (\alpha(g), f(h))$.

Por lo tanto el diagrama de desplazamientos y tenemos una transformación natural $\eta : H \times - \to K \times -$.

Me pueden decir si esto es correcto?

Answer 1

Esto parece correcto para mí. Tienes $$(g,h)\stackrel{FH(\alpha)}{\mapsto} (\alpha(g),h)\stackrel{\eta{\,G\,'}}{\mapsto}(\alpha(g),f(h))$$ and $% $ $(g,h)\stackrel{\eta_{\,G}}{\mapsto}(g,f(h))\stackrel{F_K(\alpha)}{\mapsto}(\alpha(g),f(h))$por lo tanto, $G\times H\xrightarrow{FH(\alpha)}G'\times H\xrightarrow{\eta{\,G\,'}}G'\times K$ y $G\times H\xrightarrow{\eta_{\,G}}G\times K\xrightarrow{FK(\alpha)}G'\times K$ ir (si tuviéramos que reunir en un diagrama), es decir, $\eta{\,G\,'}\circ F_H(\alpha)=F_K(\alpha)\circ\eta_G$, como se desee.

(Y es de $F_H(\alpha)$ $\times H(\alpha)$ y $F_K(\alpha)$ es $\times K(\alpha)$ en su notación).