Cálculo explícito de la clase de isomorfismo del producto tensorial de dos grupos abelianos finitos

Question

¿Cómo puedo calcular la clase de isomorfismo de $A\otimes_\mathbb{Z} B$ , donde $A$ y $B$ son abelianos de orden finito?

Puedo hacerlo para algunos ejemplos, pero no estoy seguro de cómo proceder en el caso general.

En concreto, me interesan los casos en los que...

• $|A|$ y $|B|$ son coprimos

• $\pi(|A|)\cap\pi(|B|)=1$ (donde $\pi(n)$ denota el conjunto de divisores primos de $n$ )

• todos los subgrupos Sylow de $A$ y $B$ son abelianos elementales

¿Existe una forma de ver estos resultados de forma intuitiva?

Answer 1

El principal teorema sobre los grupos abelianos finitos es que todos ellos pueden escribirse como sumas directas de grupos cíclicos de orden de potencia primo (esto se llama la descomposición elemental del divisor). Así pues, escribimos $A=\oplus_{i=1}^m \mathbb{Z}/{p_i^{e_i}}$ y $B=\oplus_{j=1}^n \mathbb{Z}/{q_j^{f_j}}$ para que $A \otimes B = \oplus _{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} (\mathbb{Z}/p_i^{e_i} \otimes \mathbb{Z}/q_j^{f_j})$ . Ahora se ha reducido al caso $A$ y $B$ cíclico de orden de potencia primo. Averigua qué ocurre cuando $p$ y $q$ son distintos y cuando son iguales.

Answer 2

Supongamos que $A=\Bbb{Z}/m\Bbb{Z}$ y $B=\Bbb{Z}/n\Bbb{Z}$ . Si $\gcd(m,n)=1$ entonces $n$ es una unidad en $A$ y aniquila $B$ . Para cualquier tensor puro $a\otimes b\in A\otimes_{\Bbb{Z}}B$ tenemos $$a\otimes b =(nn^{-1}a)\otimes b=(n^{-1}a)\otimes(nb)=(n^{-1}a)\otimes0=0.$$ Como todos los tensores puros son triviales y $A\otimes_{\Bbb{Z}}B$ es generado por ellos, se deduce que $A\otimes_{\Bbb{Z}}B=0$ . Ahora usa el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos para extenderlo a grupos abelianos finitos de orden coprimo.

En general, es cierto que $$(\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})\otimes_{\Bbb{Z}}(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})\cong\Bbb{Z}/\gcd(m,n)\Bbb{Z},$$ utilizando un argumento similar al caso en el que $\gcd(m,n)=1$ y considerando el mapa $$(\Bbb{Z}/m\Bbb{Z})\times\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})\ \longrightarrow\ \Bbb{Z}/gcd(m,n)\Bbb{Z}:\ (a,b)\ \longmapsto\ a\cdot b.$$ Utilizando de nuevo el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, este resultado se extiende de forma agradable a todos los grupos abelianos finitos.