Límite de la secuencia$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]n$

Question

Posible duplicado:
$\lim_{n \to +\infty} n^{\frac{1}{n}} $

Yo sé eso

PS

y puedo imaginar que$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]n=1$ crece linealmente mientras que$n$ th root lo comprime exponencialmente y, por lo tanto, el resultado es$n$, pero ¿cómo lo calculo?

Answer 1

Tal vez una de las más elementales formas de probarlo: desde $\,n\geq 1\,\,\forall n\in\mathbb{N}\,$, podemos put$$\sqrt[n]{n}=1+c_n\,,\,c_n\geq0\Longrightarrow n=(1+c_n)^n\geq \frac{n(n-1)}{2}c_n^2$$using the binomial expansion ,so that$$0<c_n and="" apply="" es="" get="" just="" lo="" necesitamos.="" now="" precisamente="" que="" squeeze="" the="" theorem=""></c_n>

Answer 2

Afirmación: Cada $a>1$, existe $N$ tal que $n<a todos="">N$.</a>

Prueba: Escriba $a=1+b$. Por el teorema del binomio, $a^n=(1+b)^n\geq \frac{1}{2}n(n-1)b^2$ cuando $n\geq 2$. Así $\frac{a^n}{n} \geq \frac{1}{2}(n-1)b^2$. Se sigue que si $N$ es al menos $2/b^2+1$, entonces cuando $n>N$, $n<a>- - - - - -

Como consecuencia, cada $a>1$, existe $N$, que $1\leq n^{1/n}<a todo="">N$y esto implica que el $\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/n}=1$.</a>

</a>

Answer 3

$$\lim{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]n$ $ $$=\lim{n\rightarrow\infty}e^{\frac{\ln(n)}{n}}$ $ y como sabemos que $\lim{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0$ {aplicar la regla de l ' hospital}
Así $$\lim{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]n=1$ $

Answer 4

Uno podría usar el hecho de que para una secuencia de términos positivos, si $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_{n+1}\over a_n}$ existe, entonces no $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of {a_n}$ y los dos límites son iguales. Una prueba de este hecho general se pueden encontrar en estas notas de Pete L. Clark. Este resultado también se puede encontrar en muchos de los análisis de los textos; por ejemplo, bebé Rudin.

Que la secuencia tiene límite de $1$ se comprueba fácilmente usando el mismo hecho. Una detallada demostración de que la secuencia tiene límite de $1$, de acuerdo con la prueba de esta realidad, se pueden encontrar en este hilo.

Answer 5

Vamos a ver una prueba muy elemental. Sin pérdida de generalidad continuar reemplazando $n$ $2^n$ y haz que: $$ 1\leq\lim{n\rightarrow\infty} n^{\frac{1}{n}}=\lim{n\rightarrow\infty} {2^n}^{\frac{1}{{2}^{n}}}=\lim{n\rightarrow\infty} {2}^{\frac{n}{{2}^{n}}}\leq\lim{n\rightarrow\infty} {2}^{\frac{n}{\dbinom{n}{2}}}=2^0=1$ $

Por Teorema de exprimir la prueba es completa.