Condiciones de contorno para los armónicos esféricos

Question

¿Cómo es que la restricción de que la solución de

$ \\ $ $$\left((1-x^2)y'\right)' - \frac{m^2}{1-x^2}y = \lambda y$$

$ \\ $

sea integrable al cuadrado en $[-1,1]$ obligan a que la solución esté acotada en $\pm 1$ ?

Answer 1

Tomemos el caso en el que $m=0$ que es la ecuación de Legendre ordinaria. Las soluciones para $\lambda=0$ se obtienen resolviendo $((1-x^2)y')'=0$ : $$ (1-x^2)y' = C \\ y' = \frac{C}{1-x^2}= \frac{C}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right) \\ y = \frac{C}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+D. $$ Todas las soluciones están en $L^2(-1,1)$ pero $y$ no está acotado cerca de $\pm 1$ para $C\ne 0$ . Por lo tanto, su afirmación no es correcta para $m=0$ . Para que esta ecuación de Sturm-Liouville sea autoadjunta se requiere una condición de extremo, y resulta que la acotación cerca de $\pm 1$ son condiciones finales que conducen a un problema autoadjunto. Esta ecuación está en el caso del círculo límite en ambos puntos finales.

Los casos en los que $m=1,2,3,\cdots$ son diferentes. En estos casos, la ecuación ya es esencialmente autoadjunta sin necesidad de imponer condiciones de punto final; sólo $L^2(-1,1)$ se requiere como condición. Estas ecuaciones están en el caso del punto límite, donde no se necesitan condiciones de punto final para un problema autoadjunto. Las únicas funciones propias en $L^2(-1,1)$ resultan estar acotados.

Entonces, ¿por qué queremos un problema autoadjunto? La razón para tener un problema autoadjunto completo es que se puede expandir cada función en las funciones propias; en general, tal expansión puede tomar la forma de una serie de Fourier, una integral de tipo Fourier, o una combinación de ambas. Pero lo importante es que todo pueda construirse a partir de los estados puros del sistema en una expansión ortogonal, lo cual es básicamente un requisito para una fundamentación axiomática de la Cuántica. El hamiltoniano del isótopo de hidrógeno requiere componentes discretos y continuos para una expansión completa. Los estados discretos son estados ligados, mientras que los estados continuos, que requieren integrales para "sumarlos", son estados no ligados.

En el caso de la ecuación de Legendre asociada para $m=1,2,3,\cdots$ Resulta que no hay condiciones de finalización que sean necesarias para un problema autoadjunto. El problema sin restricciones ya es autoadjunto. La única condición para que una eigenfunción clásica sea una eigenfunción real es que la eigenfunción clásica esté en $L^2(-1,1)$ y todas estas funciones propias resultan ser acotadas. Pero la acotación no es necesaria; es una consecuencia de la ecuación y del requisito de que la solución esté en $L^2(-1,1)$ . Para un $m=1,2,3,\cdots$ el conjunto de tales funciones propias es una base ortogonal completa de $L^2(-1,1)$ que resulta consistir en funciones acotadas sobre $(-1,1)$ .

Demostrar la acotación de las funciones propias: Para ponernos técnicos en cuanto a la acotación, supongamos $m=1,2,3,\cdots$ y definir $L_m$ por $$ L_m f = -\frac{d}{dx}\left((1-x^2)\frac{df}{dx}\right)+\frac{m^2}{1-x^2}f. $$ Supongamos que $L_mf = \lambda f$ para un verdadero $\lambda$ y supongamos que $f\in L^2(-1,1)$ . Puede asumir $f$ es real porque tanto la parte real como la imaginaria satisfacen la misma ecuación $L_mf=\lambda f$ . Entonces, para $-1 < y < 1$ es una función uniformemente acotada de $y$ : \begin{align} \lambda \int_{0}^{y}f(x)^2dx & = \int_{0}^{y}(L_mf) f dx \\ & = -\int_{0}^{y}((1-x^2)f')'f dx+\int_{0}^{y}\frac{m^2f^2}{1-x^2}dx \\ & = -(1-x^2)f'f|_{0}^{y}+\int_{0}^{y}(1-x^2)f'^2+\frac{m^2f^2}{1-x^2}dx \end{align} No es fácil de argumentar, pero se puede demostrar que el término integral de la extrema derecha debe permanecer acotado como $y\rightarrow\pm 1$ . (De hecho, se puede demostrar que los términos de evaluación de la derecha deben ser $0$ como $y\rightarrow\pm 1$ .) Por lo tanto, cualquier $L^2$ La función propia sigue estando uniformemente limitada por \begin{align} \left|\frac{f^2(y)}{2}\right| & = \left|\frac{f^2(0)}{2}+\int_{0}^{y}f'fdx\right| \\ & \le \left|\frac{f^2(0)}{2}\right|+\left|\int_{0}^{y} \sqrt{1-x^2}f'\frac{f}{\sqrt{1-x^2}}dx\right| \\ & \le \left|\frac{f^2(0)}{2}\right|+\frac{1}{2}\int_{0}^{y}(1-x^2)f'^2+\frac{f^2}{1-x^2}dx \\ & \le \left|\frac{f^2(0)}{2}\right|+\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1-x^2)f'^2+\frac{m^2f^2}{1-x^2}dx \\ & \le \frac{|f(0)|^2}{2}+\frac{1}{2}\|\sqrt{1-x^2}f'\|_{L^2}^2+\frac{1}{2}\|mf/\sqrt{1-x^2}\|_{L^2}^2. \end{align}