¿La existencia de $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ siempre implica la existencia de Asíntota?

Question

Para calcular la asíntota oblicua como $x \to +\infty$, primero podemos calcular el $\mathop {\lim }\limits{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$, existe y $\mathop {\lim }\limits{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k$, entonces podemos calcular más $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - kx)=b$, y si existe entonces la asíntota $y = kx + b$.

¿Pero me pregunto si la existencia de $\mathop {\lim }\limits{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ siempre implica la existencia del segundo límite $\mathop {\lim }\limits{x \to + \infty } f(x) - kx$ y por lo tanto la asíntota? Si no se aprecia ningún contraejemplo.

Answer 1

No es así. Consideremos por ejemplo $f(x) := x + \sin(x)$. Entonces

$$ \lim{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x} = 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

porque limita $\sin$. Está claro que $g(x) = x$ tiene una asíntota en el infinito pero añadiendo la limitada función oscilante $\sin x$ $g$, es claro que el % resultante de la función $f$no tiene una asíntota en el infinito (porque oscila alrededor de $g(x) = x$ $x$ acercamientos infinito). Y de hecho,

$$ \lim{x \to \infty} f(x) - x = \lim{x \to \infty} \sin x $$

no existe.

Answer 2

Generalmente no - tomar cualquier función $f(x)$ que crece linealmente sub en el infinito. Por ejemplo, $$ f(x) = \sqrt{x} $$ means $k = 0$, but then $% $ $ \lim{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim{x \to \infty } \sqrt{x} = \infty. $

Answer 3

Si k es distinto de cero entonces "sí". A fin de que el límite de f (x) /x es cero k, f (x) debe acercarse a kx como x va al infinito.