Inversas de la matriz

Question

Así que en la clase hemos estado hablando de la matriz recíproca y de la manera más rápida que yo sepa es para obtener una matriz a, y lo puso a un lado de la matriz de identidad, como $[A|I_{n}]$ y aplicar Gauss-Jordan algoritmo hasta que se de la forma $[I_{n}|A^{-1}$], donde $A^{-1}$ mostrará suponiendo que a es invertible.

También hablamos de la utilización de la fórmula $A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}$, sin embargo después de un par de ejemplos, estaba claro que esta fórmula podría tomar demasiado tiempo para encontrar la inversa de Una como el tamaño de la matriz se hicieron más grandes.

Es el primer método que se describe de la manera más rápida de encontrar un inversa de una matriz o hay una manera más eficiente?

Answer 1

Esto depende de si estamos hablando de "lápiz y papel" basados en los métodos, o basado en computadora.

Para bolígrafo y papel, el de Gauss-Jordan eliminación es más fácil y menos propenso a errores que otros métodos, la mayoría del tiempo. En algunos casos especiales, los determinantes podría ser fácil de calcular porque de la matriz de haber alguna forma especial y por lo tanto permitir la inversa de encontrarse más rápido -, pero para la matriz general, es difícil superar el G-J enfoque.

En el equipo, hay métodos más rápidos disponibles (principalmente útil para matrices de grandes dimensiones); la forma más rápida para matrices generales correr tan rápido como la multiplicación de la matriz se puede realizar.

Wikipedia tiene una buena lista de varios métodos.

Answer 2

Depende del contexto: Existen una serie de técnicas a utilizar para encontrar la inversa de una matriz, algunos de los cuales puede que no aún no han aprendido. Por el papel-lápiz, el de Gauss-Jordan método es probablemente el más fácil, y rápido, para usar.

Ver los Métodos de Inversión de matrices, en el invertible la matriz de entrada de la Wikipedia, vas muy bien los métodos que mencionas, así como a otros métodos para encontrar la inversa de una invertible la matriz.

N. B. Recuerde: no todos los $n\times n$ matrices tienen inversa! (Así que cuando usted puede hacerlo fácilmente, podría ser una buena idea para encontrar el determinante antes de intentar encontrar una inversa.)

Answer 3

La manera más rápida de obtener la inversa de la matriz $A$, es cuando se nota que la solución del sistema lineal $$Ax = e_i,$$ donde $e_i = (0,...,0,\overbrace{1}^{i \text{ position}},0,...,0)^T$ $x = i$ ésima columna de la matriz $A^{-1}$. A continuación, a fin de calcular las $A^{-1}$, es necesario calcular todas sus columnas, y por eso, usted necesita para resolver el $n$ sistemas lineales $$Ax_i\ =\ e_i,\quad i=1,2,...,n$$ Así, la velocidad de calcular $A^{-1}$ depende de la velocidad de resolver un sistema lineal. Cuando se utiliza la Eliminación Gaussiana o $LU$-Factorización, se obtiene el de Gauss-Jordan método, pero puede cambiar el solver, pero para "lápiz y papel", como @Pedro Košinár dijo, es más rápido de Gauss-Jordan.