¿Si $g(x) \ne f(x)$ casi en todas partes, entonces el polinomio transformación de $P(g(x)) \ne P(f(x))$?

Question

Supongamos que tenemos dos funciones de $f(x)$$g(x)$. Sabemos que $f(x) \ne g(x)$ en el intervalo, excepto para la medida de cero subconjuntos de a $[a,b]$. Se supone que ambas funciones son positivos en todas partes y ambos son estrictamente creciente en casi todas partes (es decir, hay un subconjunto $S$ del intervalo de $[a,b]$ donde $[a,b] \setminus S$ tiene una medida de $0$, e $f, g$ son estrictamente creciente en a $S$).

Bajo estas condiciones, en $f$ $g$ (positiva, estrictamente creciente en un.e.), es posible que exista una no-constante transformación polinómica $P$ tal que $P(f(x)) = P(g(x))$ en casi todas partes en $[a,b]$?

Answer 1

Creo que el siguiente es un contraejemplo:

Que $f(x)=\sin(x), g(x)=-\cos(x)$ $[0, \frac{\pi}{2}]$ y $P(X)=X^2(1-X^2)$.

Entonces $$P(f(x))=P(g(x))=\sin^2(x) \cos^2(x)$ $

Answer 2

Es posible tener positivos, estrictamente creciente de las funciones de $f, g: [a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) \ne g(x)$ todos los $x \in [a,b]$, sin embargo, hay un no-constante polinomio $P$ tal que $P(f(x)) = P(g(x))$ todos los $x \in [a,b]$.

Para encontrar un ejemplo, vamos a empezar con el polinomio $P$: tome $P(X) = (X - 2)^3 - (X - 2)$. Entonces, determinar los puntos de $(X,Y)$ donde $P(X) = P(Y)$. Obtenemos:

La clave es buscar un punto en el gráfico donde hay una recta tangente con pendiente positiva en el primer cuadrante. Arriba, vemos que esto ocurre en el punto de $(3,1)$. Por lo que podemos establecer $(f(t), g(t))$ a ser una parametrización de la curva a partir de este punto y se mueve en el sentido positivo del $x$ - $y$- las direcciones. Tomamos nota de que, por construcción, $f$ $g$ son crecientes y positivas, y la satisfacción de $P(f(t)) = P(g(t))$.

Explícitamente, si nos parametrizar por encima de la curva se obtiene el siguiente ejemplo, el cual también utiliza la trigonometría como N. S. agradable respuesta: \begin{align*} P(X) &= (x-2)^3 - (x-2) \\ f(x) &= 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x + \sin x \\ g(x) &= 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x - \sin x \end{align*} Estos siempre son positivos, y ambos son estrictamente creciente en algunos intervalos, por ejemplo, en el intervalo de $[-2\pi/3,-\pi/3]$. El álgebra es un poco desordenado, pero se puede comprobar que $P(f(x)) = Q(f(x))$ con Wolfram Alpha.

En general, para cualquier polinomio $P$ podemos trazar el conjunto de $(X,Y)$ coordenadas donde $P(X) = P(Y)$, y en cualquier lugar donde la tangente de la curva tiene pendiente positiva, podemos leer un par de funciones $f, g$ satisfacción $P(f(t)) = P(g(t))$.

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Por supuesto, también hay ejemplos donde no polinomio existe. Por ejemplo, tomar \begin{align*} f(x) &= x^4 \\ g(x) &= x^2 \end{align*}

en el intervalo de $[1,2]$.

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Tenga en cuenta que por ejemplo, usted puede hacer la función cada vez mayor en todos los de $\mathbb{R}$ y no sólo a $[a,b]$, extendiendo $f$ adecuadamente a los valores de $x < a$$x > b$.