Existe límite $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^3y^2}{x^4+y^6}$

Question

¿$$ \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \frac {x ^ 3y ^ 2} {x ^ 4 + y ^ 6} $$ hace este límite existen?

He intentado sustituir y = x ^ 0.5 y y=x^(2/3) que va a 0.

Answer 1

Deje $A>0$ ser un parámetro. Considere la curva $C_A$ determinado por la ecuación $$ A=x^4+y^6. $$ Esta curva no es del todo circular que se hace bastante oblonga al $A\to0$. De todos modos vamos a usar estos en lugar de los círculos como las coordenadas polares no parecen conducir a un argumento convincente.

Debido a que ambos exponentes son, incluso, en la curva de $C_A$ tenemos $|x|\le A^{1/4}$$|y|\le A^{1/6}$. Por lo tanto $$ |x^3y^2|\le a^{3/4+1/3}=A\cdot A^{1/12} $$ para todos los puntos de $(x,y)\in C_A$. Esto significa que $$ |f(x,y)|=\frac{|x^3y^2|}{x^4+y^6}\le a^{1/12} $$ para todos los puntos de $(x,y)\in C_A$. Todo esto es así, debido a que $A^{1/12}\to0$ al $A\to0$.

Los interiores de las curvas de $C_A$ formulario de base de los barrios de el origen, por lo que ya podemos concluir que el límite existe y es igual a cero. Para hacer esto más preciso considerar un disco de $B((0,0);r)$ radio $r>0$ alrededor del origen. Dentro de ese disco tenemos $x^4\le r^4$$y^6\le r^6$, así que podemos ver que $B((0,0);r)$ está contenido en la unión de las curvas de $C_A$ $A$ oscila en el intervalo de $0\le A\le r^4+r^6$.

Esto significa que para un punto de $(x,y)\in B((0,0);r)$ tenemos la estimación $$ |f(x,y)|\le (r^4+r^6)^{1/12}. $$ Porque $$ \lim_{r\to0+}(r^4+r^6)^{1/12}=0 $$ el sándwich principio implica entonces que $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}f(x,y)=0. $$

Answer 2

Tenemos $$ \frac{|x|^3y^2}{ x^4 + y^6 } \leq c \sqrt{ |y|}$ $ hecho basta para mostrar que $$ |x|^3y^2\leq c \sqrt{ |y|} (x^4 + y^6) $ $ que vemos tiene de AM - GM en $$ x^4/3 +x^4/3 +x^4/3+y^6 \geq C|x|^3\sqrt{|y|^3} $ $

Answer 3

Cambiar de cartesianas a coordenadas polares
$ x=r \cos \left( \theta \right) $ $ y=r \sin \left( \theta \right) $ Para el límite de convertirse en $$ \lim \limits{r\to 0}\frac{r^{5}\cos \nolimits^{3}\left( \theta \right) \sin \nolimits^{2}\left( \theta \right) }{r^{4} \cos \nolimits^{4}\left( \theta \right) +r^ {6}\sin \nolimits^{6}\left( \theta \right) } \implies \lim \limits{r\to 0} \frac{r \cos \nolimits^{3}\left( \theta \right) \sin \nolimits^{2}\left( \theta \right) }{\left( \cos \nolimits^{4}\left( \theta \right) +r^{2}\sin \nolimits^{6}\left( \theta \right) \right) } = 0$ $