¿por qué es lo siguiente un operador de proyección?

Question

Que $T: E \rightarrow E$ ser un endomorfismos de un espacio finito-dimensional del vector y que $S$ un círculo en el plano complejo que no intersecta ningún valores propios $T$. Ahora que $Q = \frac{1}{2\pi i} \int_S (z-T)^{-1} \, dz$.

¿Por qué es $Q$ un operador de proyección?

La motivación detrás de esta pregunta es que la situación anterior se produce en una prueba del teorema de la periodicidad de Bott, pero no está claro para mí que $Q$ es una proyección...

Answer 1

Demostrar que la integral depende continuamente de $T$ y mostrar que $Q^2=Q$ cuando $T$ es diagonalizable, encontrando cómo $Q$ cambia cambio cambiar $T$ por una matriz similar y luego en el caso unidimensional. Luego use el hecho de que matrices diagonalizable son densas en el espacio de todas las matrices y que $Q^2$ y $Q$ son funciones continuas de $Q$.

Answer 2

Si $A$ es cualquier álgebra de Banach (tales como el álgebra de endomorphisms de un número finito de dimensiones complejas de espacio vectorial), entonces para cada subconjunto $\Omega$ del plano complejo y cada elemento $T$ $A$ cuyo espectro está contenida en $\Omega$, holomorphic funcional cálculo de los rendimientos de un homomorphism $f\mapsto f(T)$ desde el álgebra de las funciones de holomorphic en un conjunto abierto que contiene a $\Omega$ (identificar si están de acuerdo en un barrio de $\Omega$) a $A$. Ya que la función $f:(\mathbb{C}\setminus S)\to\mathbb{C}$ definido por $f(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_S(z-w)^{-1}dz$ toma sólo los valores de $0$ $1$ (se da la liquidación número de $S$ sobre $w$), $f$ es idempotente (es decir, $f(w)^2=f(w)$ todos los $w\in\mathbb{C}\setminus S$), y por lo tanto $f(T)$ es un elemento idempotente de $A$ por cada $T$ cuyo espectro es disjunta de a $S$.