Dada una torsión$R$ - módulo$A$ donde$R$ es un dominio integral,$\mathrm{Tor}_n^R(A,B)$ también es torsión.

Question

Dado un dominio integral$R$, y una torsión izquierda$R$ - módulo$A$ (es decir,$\forall{a}\in A,\exists{r}\in R$ tal que$ra=0$) ¿cómo mostraría que$\mathrm{Tor}_n^R(A,B)$ es también un módulo de torsión$R$ -?

Answer 1

Elija una resolución proyectiva$P_\bullet \to B \to 0$. Entonces $\mathrm{Tor}_n(A,B) \stackrel{\mathrm{def}}{=} H_n(A \otimes P_\bullet)$. Este es un cociente de un submódulo de$A \otimes P_n$, por lo que es suficiente observar que$A \otimes P_n$ es torsión, lo cual es obvio (si$ra=0$ entonces$r(a \otimes p)=0$).