El enredo no se trata de la interacción o la transferencia de información entre enredados partículas.
Considere la posibilidad de spin-entaglement de dos spin-$\frac{1}{2}$ partículas:
Déjalos en singulet-estado en relación a un eje arbitrario (es decir en el eje z):
$$ |\Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ |\uparrow_z, \downarrow_z \rangle - |\downarrow_z,\uparrow_z\rangle \ ) $$
El propability $P$ a medir partículas en estado $|i,j \rangle$ $i,j \in \{ \uparrow, \downarrow \}$ donde el eje de ambas mediciones encerrar el ángulo de $\theta$ está dada por:
$$ P_{i,j} = \| \langle i,j | \Psi \rangle \|^2 = \frac{1}{4} (1 - i \cdot j \cdot \cos \theta )$$
si tomamos $i,j$ 1 y -1 para $\uparrow$$\downarrow$, respectivamente.
La reducción de propability $p_i$ de la medición de sólo una partícula (por ejemplo, si no nos preocupamos de los demás) está dada por:
$$ p_i = \sum_{j \in \{1,-1\}} P_{i,j} = \frac{1}{2} $$
El condicional propability de la medición de la otra partícula (después de que ya sabemos acerca de la medición de la primera partícula) está dada por:
$$ \tilde{p}_{j|i} = \frac{P_{i,j}}{p_i} = \frac{1}{2} (1 - i \cdot j \cdot \cos \theta ) $$
Esto implica que el ángulo de $\theta$ y por lo general se comienza a discutir aquí acerca de la no-localidad y instantanious acciones a cambiar el resultado de un experimento cuando se cambia el ángulo de $\theta$ en la primera medición el aparato.
Sin embargo, esto no es cierto. Si estamos hablando de la condicional propabilities ya hemos realizado una medición y establecer la medida del eje de la primera medición. El cambio de este eje después no afectará a la propability como el ángulo de $\theta$ es relativa a la medidos de eje. Cómo cambiar el eje de la segunda medición sólo cambia la propability la predicción de los resultados de la medición para el primer observador, porque él tiene el conocimiento adicional.
El propability para el segundo observador permanece la misma, como es la reducción de propability (él no sabe acerca de la primera medición):
$$ p_j = \sum_{i \in \{1,-1\}} P_{i,j} = \frac{1}{2} $$
En resumen: Sin el conocimiento adicional de la primera medición, el enredo no es importante para el segundo observador. Para obtener el conocimiento adicional que debe haber un adicional de transferencia de información para el segundo observador y esto es restringido por medio de la relatividad de la causalidad ($v\le c$ etc.). Así enredo ni se rompe la causalidad ni puede transferir cualquier tipo de información.
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A veces uno trata sobre el argumento de que la violación de las desigualdades de Bell demuestra, que el entrelazamiento es todavía algo más que la clásica percepción permitiría.
Así que vamos a echar un vistazo a una cierta expectativa de valor. El eje de giro de medición deberán estar etiquetados de acuerdo normalizado de vectores $\vec{a}$ $\vec{b}$ tal que $\vec{a}\cdot\vec{b} = \cos\theta$. Considere la posibilidad de
\begin{equation}
\langle \Psi|\vec{a}\cdot\vec{S_1} \ \ \vec{b} \cdot \vec{S}_2 | \Psi \rangle = -\frac{\hbar^2}{4}\vec{a}\cdot\vec{b} = -\frac{\hbar^2}{4} \cos\theta
\tag{1}
\end{equation}
, cual es la expectativa de valor del producto de las dos mediciones de los resultados. Aquí tenemos a $\vec{S} = \frac{\hbar}{2}(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)^T$ $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ las matrices de Pauli.
Ahora seguimos el razonamiento de John Bell en su trabajo original, ya que otros, similares a las desigualdades se basan en el mismo problema.
El argumento es el siguiente: Supongamos que un clásico, un sistema estadístico con los no-oculto y variables ocultas a todos los etiquetados por $\vec{\lambda} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ algunos $n\in\mathbb N$. Además existe dos funciones $A(\vec{a},\vec{\lambda})$ $B(\vec{b},\vec{\lambda})$ que dan los resultados de la tirada de medición de las partículas 1 y 2, respectivamente. Sólo pueden rendir $\pm\frac{\hbar}{2}$, ya que es el único resultado del experimento. Estas funciones dependen de una medida de eje único, porque no habrá acción entre el aparato de medición 1 y 2 (este es el supuesto de la localidad).
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Debido a que el sistema se estudia sobre una base estadística, existe una propability densidad de $ \varrho(\vec{\lambda}) $ que es una función de los parámetros del sistema $\vec{\lambda}$ y permite el cálculo de la expectativa de valor
$$ E(\vec{a},\vec{b}) = \int \varrho(\vec{\lambda}) \cdot A(\vec{a},\vec{\lambda}) B(\vec{b},\vec{\lambda}) \ d^n\lambda $$,
que debe ser igual a la de arriba (1) si es para ser interpretado en un clásico, de base local (Nota: uno puede incorporar discretas estadística de las variables por términos como"$\sum_j \alpha_j \cdot \delta(c_j-\lambda_m)$). El malicioso suposición aquí es que el $\varrho$ no es función de la eje-vectores $\vec{a}$$\vec{b}$. Esta es, sin embargo, bastante natural para el clásico de sistemas con correlación. Voy a motivar a esto más adelante por un experimento de pensamiento. El punto es: Permitir a $\varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{b})$ o incluso sólo $\varrho(\vec{\lambda}, \vec{a} \cdot \vec{b})$, la Campana de las desigualdades no pueden ser derivados! Tal propability densidades puede causar la violación de la desigualdad. Para entender que, ahora voy a derivar a ellos y a señalar que el paso no es posible con el modivied densidad:
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Asumir
$$ E(\vec{a},\vec{b}) = -\frac{\hbar^2}{4} \vec{a} \cdot \vec{b} \tag2 $$,
de modo que la descripción cuántica está de acuerdo con la clásica. Para $\vec{a} = \vec{b}$:
\begin{equation}
\begin{aligned}
-\frac{\hbar^2}{4} & = \int \underbrace{\varrho(\vec{\lambda})}_{\ge 0} \cdot \underbrace{A(\vec{a},\vec{\lambda}) B(\vec{a},\vec{\lambda})}_{\ge -\frac{\hbar^2}{4}} \, d^n\lambda \\ & \Leftrightarrow \\
0 & = \int \underbrace{\varrho(\vec{\lambda})}_{\ge 0} \cdot \left( \underbrace{A(\vec{a},\vec{\lambda}) B(\vec{a},\vec{\lambda}) + \frac{\hbar^2}{4}}_{\ge 0} \right) \, d^n\lambda
\end{aligned}
\end{equation}
debido a $\varrho$ es una normalizado propability densidad. De ello se sigue que
\begin{equation}
\begin{aligned}
A(\vec{a},\vec{\lambda}) B(\vec{a},\vec{\lambda}) = -\frac{\hbar^2}{4}
\end{aligned}
\end{equation}
es válida la ecuación bajo la integral con $\varrho$. Esto sólo se puede mantener si
\begin{equation}
\begin{aligned}
B(\vec{a},\vec{\lambda}) = - A(\vec{a},\vec{\lambda})
\end{aligned}
\tag3
\end{equation}.
Tenga en cuenta que esto es válido para cualquier vector de $\vec{a}$. Ahora tómate un vector normalizado $\vec{c}$ y hacer los siguientes cálculos:
\begin{align}
\frac{\hbar^2}{4}|(-\vec{a}\cdot\vec{b}) - (-\vec{a}\cdot\vec{c})| & = |E(\vec{a},\vec{b}) - E(\vec{a},\vec{c}) | \\
& = \left| - \int \varrho(\vec{\lambda}) \cdot (A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{b},\vec{\lambda}) - A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda})) \, d^n\lambda \right| \\
& = \left| \int \varrho(\vec{\lambda}) \cdot A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{b},\vec{\lambda}) \cdot (1 - \frac{4}{\hbar^2}A(\vec{b},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda})) \, d^n\lambda \right| \\
& \le \int | \varrho(\vec{\lambda}) | \cdot | A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{b},\vec{\lambda}) | \cdot |1 - \frac{4}{\hbar^2}A(\vec{b},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda})| \, d^n\lambda \\
& = \int \varrho(\vec{\lambda}) \cdot (\frac{\hbar^2}{4} - A(\vec{b},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda})) \, d^n\lambda \\
& = \frac{\hbar^2}{4} + E(\vec{b},\vec{c}) = \frac{\hbar^2}{4} - \frac{\hbar^2}{4}\vec{b}\cdot\vec{c} \tag4
\end{align}
En la primera igualdad hemos utilizado (2). En la segunda hemos utilizado (3). En la tercera se utilizó $A(\vec{b},\vec{\lambda})^2 = \frac{\hbar^2}{4}$. El cuarto paso es el triángulo de la desigualdad para las integrales. En el quinto paso se utilizó $A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{b},\vec{\lambda}) = \pm \frac{\hbar^2}{4}$$\varrho(\vec{\lambda}) \ge 0$. En el último paso hemos utilizado (2) y el hecho de que $\varrho$ está normalizado.
Así que, finalmente, han de Bell y la desigualdad
\begin{equation}
\begin{aligned}
|\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{c}| + \vec{b}\cdot \vec{c} \le 1 \, ,
\end{aligned}
\tag5
\end{equation},
que pueden ser violados por algún elección de $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. Generalmente, esto muestra que nuestra primera suposición (2) es falsa. Por lo tanto, no clásica, sistema local debe ser capaz de describir la expectativa de valor (1).
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Con la modificación de la densidad de probabilidad de los pasos (4) este aspecto:
\begin{align}
\frac{\hbar^2}{4}|(-\vec{a}\cdot\vec{b}) - (-\vec{a}\cdot\vec{c})| & = |E(\vec{a},\vec{b}) - E(\vec{a},\vec{c}) | \notag \\
& = \left| - \int \varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{b}) \cdot A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{b},\vec{\lambda}) - \varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{c}) \cdot A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda}) \, d^n\lambda \right| \notag \\
& = \left| \int A(\vec{a},\vec{\lambda}) A(\vec{b},\vec{\lambda}) (\varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{b}) - \varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{c}) \frac{4}{\hbar^2}A(\vec{b},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda})) \, d^n\lambda \right| \notag \\
& \le \int \frac{\hbar^2}{4} \cdot \left| \varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{b}) - \varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{c}) \frac{4}{\hbar^2}A(\vec{b},\vec{\lambda}) A(\vec{c},\vec{\lambda}) \right| \, d^n\lambda
\end{align}
Tenga en cuenta que uno no puede continuar a partir de aquí, ya que en general $\varrho(\vec{\lambda}, \vec{a},\vec{b}) \ne \varrho(\vec{\lambda}, \vec{a},\vec{c})$. También la segunda igualdad no puede trabajar aquí, de todos modos ya (3) solo es valido cuando se multiplica por $\varrho(\vec{\lambda},\vec{a},\vec{a})$. Por ejemplo, cuando se $\varrho(\vec{\lambda},\vec{a},\vec{a}) = 0$ ecuación (3) puede ser violado en general. Sin embargo, sólo se puede intentar utilizar otro triángulo de la ecuación en el plazo $|\dots|$, lo que nos deja, finalmente, con la desigualdad
\begin{equation}
\begin{aligned}
|\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{c}| \le 2 \, ,
\end{aligned}
\end{equation},
que no puedan ser violados por cualquier elección de $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.
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En resumen: Si uno permite que propability densidades $\varrho(\vec{\lambda}, \vec{a}, \vec{b})$, que depende de algunos parámetros de la medición, la derivación de una desigualdad que es violado por la mecánica cuántica expectativa de valores no es posible en la forma habitual. Anteriormente, ya he argumentado que la dependencia de la $\vec{a}, \vec{b}$ es en general, no hay motivo para la no-local comportamiento tan largo como la reducción de propability de un subsistema es sólo dependía de sus propios parámetros. Este problema es inherente a las desigualdades que se derivan en los mismos argumentos como el de la Campana de la desigualdad: véase, por ejemplo, la CHSH-la desigualdad en la página 527 de la ecuación 2, que se utiliza con frecuencia en los experimentos!
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Por lo que si queremos encontrar algunas funciones $A$ $B$ que satisfacer nuestra localidad-condiciones de arriba no hay ninguna razón para pensar en la expectativa de valor (1) como un no-local. Tomar
\begin{align}
p_{i,j}(\vec{a},\vec{b}) & = \frac{1}{4} (1 - i j \ \vec{a}\cdot\vec{b}) \\
A(i,\vec{a}) & = \frac{\hbar}{2} \ i \\
B(j,\vec{b}) & = \frac{\hbar}{2} \ j
\end{align}
Entonces tenemos
$$ E(\vec{a}, \vec{b}) = \sum_{i,j \in \{1,-1 \}} p_{i,j}(\vec{a},\vec{b}) \cdot A(i,\vec{a}) B(j,\vec{b}) = - \frac{\hbar^2}{4} \ \vec{a}\cdot\vec{b} = - \frac{\hbar^2}{4} \ \cos\theta$$,
lo que equivale a (1) en un puro, locales y clásica.
