Utilizaré las anotaciones del post enlazado. Obsérvese que, si $f(x) g(x) = x^{14} + 8x^{13} + 3$ se deduce que $f(0) g(0) = 3$ por lo que, dado que $f,g \in \Bbb Z[x]$ se deduce que, o bien $f(0) = \pm 1$ y $g(0) = \pm 3$ o que $f(0) = \pm 3$ y $g(0) = \pm 1$ .
En el primer caso, tenemos $g(0) \equiv 0 \pmod 3$ . ¿Puede suceder esto si $r=12$ ? No, porque en este caso tendrías $g(0) \equiv 2 \pmod 3$ . Queda que $r=0$ .
En el segundo caso, tenemos $f(-) \equiv 0 \pmod 3$ . ¿Puede suceder esto si $r=0$ ? No, porque en este caso tendrías $f(0) \equiv 1 \pmod 3$ . Queda que $r=13$ .
Llegamos a la conclusión de que $r=0$ o $r=13$ .
Para responder a su segunda pregunta, imagine que $x^{14} + 8x^{13} + 3$ tenía un factor lineal $ax-b$ en $\Bbb Z[x]$ . Entonces existe un polinomio $cx^{13} + \dots \in \Bbb Z[x]$ tal que $x^{14} + 8x^{13} + 3 = (ax-b) (cx^{13} + \dots)$ lo que implica que $ax \cdot cx^{13} = x^{14}$ es decir, que $ac = 1$ . Desde $a,c \in \Bbb Z$ se deduce que $a = \pm 1$ .
Supongamos que $a=1$ . De ello se desprende que $x-b \mid x^{14} + 8x^{13} + 3$ es decir, que $b$ es una raíz de $x^{14} + 8x^{13} + 3$ es decir, que $b^{14} + 8b^{13} + 3 = 0$ es decir, que $b^{13}(b+8) = -3$ por lo que se deduce que $b^{13} \mid -3$ y la única solución entera de esto es $b = \pm 1$ . Sin embargo, compruebe usted mismo que $+1$ y $-1$ no son raíces de $x^{14} + 8x^{13} + 3$ .
Se puede realizar un análisis similar si $a=-1$ .
Concluimos que $x^{14} + 8x^{13} + 3$ no tiene ningún factor lineal en $\Bbb Z[x]$ .
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El "término constante" de un polinomio es el término de grado cero. Por ejemplo, el término constante de $x^2 + 5x +4$ es $4$ . El término constante de $x^3$ es $0$ . Aquí se sabe que los términos constantes de $f$ y $g$ no pueden ser ambos múltiplos de $3$ porque, de lo contrario, el término constante de $fg$ que es el producto de los términos constantes de $f$ y $g$ tendría que ser un múltiplo de $9$ lo que no es el caso.
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Ahora bien, si $r>0$ entonces el término constante de $f$ debe ser un múltiplo de $3$ . Asimismo, si $13 - r > 0$ entonces el término constante de $g$ debe ser un múltiplo de $3$ .
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En cuanto a la pregunta de por qué el polinomio no tiene factores lineales, se deduce del lema de Gauss: Sea $\frac{x}{y} \in \mathbb Q$ sea una raíz racional del polinomio $\sum_{i=0}^{n}{a_iX^i}$ con coeficientes en $\mathbb Z$ . Entonces $x | a_0$ y $y | a_n$ . Así que en su caso una raíz sólo puede ser $\pm 1, \pm 3$ . Sólo hay que enchufarlas todas y ver que no tienen raíces.