Demostrando que $x^{14}+8x^{13}+3$ es irreducible en $[x]$ (necesita más explicaciones sobre la solución)

Question

Así que encontré esta pregunta: Factor $x^{14}+8x^{13}+3$ sobre los racionales Y estuve leyendo la solución, pero no estoy entendiendo algunas de las partes y realmente agradecería una mayor explicación.

En concreto, cuando reducimos nuestro polinomio mod 3, para obtener $f(x)g(x)=x^{13}(x+2)$

Entonces decimos que $f(x)=x^r$ y $g(x)=x^{13r}(x+2)$ y "uno de los términos constantes de f, g no es múltiplo de 3, y por tanto r=0 o 13"

¿Alguien puede explicar lo que significa la parte en negrita? ¿entonces g es un término constante y no un múltiplo de 3? ¿cómo se concluye que r = 0 o 13?

Además, ¿cómo afirmamos que nuestro polinomio no tiene un factor lineal g en $[x]$ ? ¿De qué parte del argumento se desprende esto?

Answer 1

Utilizaré las anotaciones del post enlazado. Obsérvese que, si $f(x) g(x) = x^{14} + 8x^{13} + 3$ se deduce que $f(0) g(0) = 3$ por lo que, dado que $f,g \in \Bbb Z[x]$ se deduce que, o bien $f(0) = \pm 1$ y $g(0) = \pm 3$ o que $f(0) = \pm 3$ y $g(0) = \pm 1$ .

En el primer caso, tenemos $g(0) \equiv 0 \pmod 3$ . ¿Puede suceder esto si $r=12$ ? No, porque en este caso tendrías $g(0) \equiv 2 \pmod 3$ . Queda que $r=0$ .

En el segundo caso, tenemos $f(-) \equiv 0 \pmod 3$ . ¿Puede suceder esto si $r=0$ ? No, porque en este caso tendrías $f(0) \equiv 1 \pmod 3$ . Queda que $r=13$ .

Llegamos a la conclusión de que $r=0$ o $r=13$ .

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Para responder a su segunda pregunta, imagine que $x^{14} + 8x^{13} + 3$ tenía un factor lineal $ax-b$ en $\Bbb Z[x]$ . Entonces existe un polinomio $cx^{13} + \dots \in \Bbb Z[x]$ tal que $x^{14} + 8x^{13} + 3 = (ax-b) (cx^{13} + \dots)$ lo que implica que $ax \cdot cx^{13} = x^{14}$ es decir, que $ac = 1$ . Desde $a,c \in \Bbb Z$ se deduce que $a = \pm 1$ .

Supongamos que $a=1$ . De ello se desprende que $x-b \mid x^{14} + 8x^{13} + 3$ es decir, que $b$ es una raíz de $x^{14} + 8x^{13} + 3$ es decir, que $b^{14} + 8b^{13} + 3 = 0$ es decir, que $b^{13}(b+8) = -3$ por lo que se deduce que $b^{13} \mid -3$ y la única solución entera de esto es $b = \pm 1$ . Sin embargo, compruebe usted mismo que $+1$ y $-1$ no son raíces de $x^{14} + 8x^{13} + 3$ .

Se puede realizar un análisis similar si $a=-1$ .

Concluimos que $x^{14} + 8x^{13} + 3$ no tiene ningún factor lineal en $\Bbb Z[x]$ .