Estoy trabajando a través de la edición de 2013 de Kunen de la Teoría de conjuntos, y estoy teniendo algunos problemas con el Ejercicio II.9.10, que muestra la consistencia de $ZF$ sin Fundamento y la negación del axioma de elección relativa a $ZFC$ con la Fundación reemplazado por la afirmación de que existe un conjunto infinito de Quine átomos. La sustitución de Kunen la notación con lo que creo que es más estándar, que él define para cualquier conjunto transitivo T $$V_0(T)=T \\ V_{\alpha+1}(T)=\mathcal{P}(V_\alpha) \\ V_\gamma(T) = \bigcup_{\beta<\gamma}V_\beta(T) \text{ for limit $\gamma$}$$
y $V(T)$ es la unión de $V_\alpha(T)$ sobre todos los ordinales. A continuación, dejar que T ser cualquier conjunto infinito de Quine átomos, se define una subclase $M$ $V(T)$ que consta de todos los $y$ tal que existe un número finito de $A\subseteq T$ tal que para todas las permutaciones $\pi$ $T$ que arreglar todo en $A$ si $\hat{\pi}$ es la extensión de $\pi$ a un automorphism de $V(T)$, $\hat{\pi}(y)=y$.
Es evidente para mí ¿por $M$ que satisfaga a todo el conjunto de la existencia axiomas de la $ZF$, ¿por qué todo el bien fundado conjuntos de $M$ puede ser bien ordenado, y por qué $T$ amorfo en $M$ y por lo tanto contradice el buen orden teorema, pero Kunen también dice que M es transitiva. Sin embargo, me parece que cualquier permutación de T debe inducir a una permutación de $V_1(T)$, el poder total conjunto de T, por lo que cualquier automorphism de $V(T)$ debería solucionar $V_1(T)$, lo $V_1(T)\in M$, dejando $A$ estar vacío. Sin embargo, $V_1(T)$ contiene muchos juegos que no están en $M$, como todos infinito coinfinite subconjuntos de a $T$, lo $M$ no es transitiva y no hay ninguna razón para esperar que Extensionality para celebrar.
Lo que me estoy perdiendo aquí?
