La página de Wikipedia para el dodecaedro romo proporciona explícito de las coordenadas de sus vértices, de los cuales uno puede, por supuesto, por la fuerza bruta calcular que sólo hay dos ángulos diedros. ¿Alguien puede dar una (esperemos que perspicaz/más intuitivo) menor prueba de que no debe ser solo dos ángulos? Las simetrías del objeto inmediatamente implica que no puede haber más de tres ángulos: el triángulo pentágono uno, el ángulo entre dos triángulos cada uno de los cuales es adyacente a un pentágono, y el ángulo entre un triángulo no adyacentes a cualquier pentágono y uno que es. Pero hay alguna "rápida" manera de ver que las últimas dos ángulos debe ser igual?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Centrarse en un par de triángulos adyacentes $T_1$$T_2$. Sus vértices la mentira en la que circunscriben la esfera de $S$. Su ángulo diedro es complementario del ángulo de $\angle P_1OP_2$ donde $O$ es el centro de de $S$ $P_i$ es el centroide de $T_i$. Pero esto sólo depende del ángulo de en el radio de la esfera y las longitudes de los bordes de los triángulos equiláteros $T_i$. (Hay una rotación de la esfera de $T_1$ $T_2$ a cualquier configuración de dos adyacentes los triángulos con el mismo sidelengths con vértices en a $S$.)
