¿Qué es un "álgebra aumentada en un cuerpo"? (EGA I)

Question

En EGA I, capítulo 0, (1.1.10), Grothendieck da ejemplos de objetos terminales en diferentes categorías. Dice "en la categoría de los álgebra aumentada sobre un cuerpo $K$ (donde los morfismos son los homomorfismos de álgebra compatibles con los incrementos), $K$ es un objeto final".

¿Qué es un álgebra aumentada? Pensé que se refería a la categoría de $K$ -pero esto no tiene sentido porque $K$ es un objeto inicial en esta categoría, no uno final.

Answer 1

Si $A$ es un $K$ -un aumento es un morfismo de $K$ -de las álgebras de $A$ a $K$ . Un aumento de la $K$ -es una $K$ -Álgebra $A$ junto con un aumento $\varepsilon \colon A\rightarrow K$ . Un morfismo de aumentos $K$ -de las álgebras de $\varepsilon \colon A\rightarrow K$ a $\delta\colon B\rightarrow K$ es un morfismo $f\colon A\rightarrow B$ de $K$ -tales que $\delta\circ f=\varepsilon$ .

Entonces está claro que el aumento $K$ -Álgebra $\mathrm{id}\colon K\rightarrow K$ es un objeto final. En efecto, el mapa de aumento $\varepsilon \colon A\rightarrow K$ es el único morfismo de los aumentos $K$ -de las álgebras de $\varepsilon \colon A\rightarrow K$ a $\mathrm{id}\colon K\rightarrow K$ .

Geométricamente, un aumento $\varepsilon\colon A\rightarrow K$ corresponde a un $K$ -punto de valor del esquema $\mathrm{Spec}(A)$ . Por lo tanto, se piensa en el aumento $K$ -algebras como $K$ -esquemas con un punto base. Los morfismos de los esquemas aumentados $K$ -son morfismos de $K$ -esquemas que conservan los puntos base.

Answer 2

Un aumento o incremento $k$ -Álgebra $A$ es sólo un $k$ -con un mapa preferido no trivial $A \to k$ . Uno de los ejemplos canónicos es un álgebra de grupo $k[X]$ donde el mapa de aumento viene dado por $[g] \to 1$ .