Por supuesto, la pregunta no tiene sentido como escrito en el título. Esto es lo realmente significan:
Dado un campo global $k$ y un % polinomio irreducible $P \in k[x]$
¿Es cierto que $P$ es reducible en casi todos los lugares?
Me imagino el lema de esa enana y un teorema de aproximación le dará una respuesta afirmativa.
Tomar el % Polinomio irreducible $X^2+1$$\mathbb{Q}$. Si $p\equiv 3\mod 4$ este polinomio es irreducible en $\mathbb Q_3$ por lema Hensels. Si $p\equiv 1\mod 4$ es reducible, así $X^2+1$ es reducible / irreducible por medio de los lugares. En general puede utilizar Teorema de Chebotarev para determinar para cuántos números primos se divide un polinomio.
De hecho la situación es incluso peor de lo que sugiere la respuesta de Michalis: puede ser un polinomio irreducible a nivel mundial (de hecho suele) localmente reducibles casi por todas partes. Por ejemplo, considere el polinomio $x^4 - 8x^2 + 36$. Este es el polinomio mínimo de $\sqrt{5} + i$, por lo que es irreductible. Pero mod $p$ para cualquier % primer $p \notin {2, 5}$, por lo menos uno de los $-1$, $5$ y $-5$ son un residuo cuadrático; por lo tanto, el polinomio no es irreducible sobre $\mathbb{Q}_p$ para cualquier $p > 5$.
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