Estoy tratando de probar lo siguiente:
Si $X$ es un compacto y Hausdorff espacio topológico y $f:X\rightarrow X$ es una función continua, entonces el conjunto $F=\left{ x \in X : f(x) = x\right}$ de puntos fijos de la función $f$ es compacto.
Sin embargo, ninguna pista sobre cómo incluso comience.
El conjunto de puntos fijos se cierra en $X$. Esto es porque es la imagen inversa del diagonal $\Delta={(x,x):x\in X}\subseteq X\times X$ bajo la continua mapa $x\mapsto (x,f(x))$ $X$ $X\times X$. Tenga en cuenta que $\Delta$ está cerrado en $X\times X$ debido a la propiedad de Hausdorff.
Como los puntos fijos son un subconjunto cerrado de un espacio compacto, también forman un espacio compacto.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
