Supongamos que tengo una relación de equivalencia $\sim$ a $S=\{e,f,g,h,i\}$ tal que $e \sim f, f \sim g$ e $e \nsim i$. Estoy tratando de encontrar el número de relaciones que se pueden definir en $S$. Sé que $\{e,f,g\}$ siempre será una clase de equivalencia y que $\{i\}$ va a ser siempre también una clase de equivalencia. Las preguntas por lo tanto, equivale a preguntar cómo muchas diferentes clases de equivalencia puede $h$ pertenecen y la respuesta es, obviamente, $3$ ya que puede pertenecer a su propia clase de equivalencia $\{h\}$, $\{i\}$ o $\{e,f,g\}$. Sin embargo no estoy seguro de si es posible que $h$ no pertenece a ninguna clase de equivalencia, es decir, el conjunto de clases de equivalencia para las relaciones serían $\{\{e,f,g\},\{i\}\}$. Creo que la respuesta es no, porque el conjunto de clases de equivalencia ha de partición de la $S$ pero no estoy 100% seguro.
Respuestas
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Puntos
1
Hay un bijection entre el conjunto de las relaciones de equivalencia en un conjunto, y las particiones de ese conjunto. Esto nos permite cambiar entre estas nociones de manera fluida.
Es decir, sabemos que $e,f,g$ están en la misma clase de equivalencia, que es uno que es diferente a la de $i$. Así, es una cuestión de dónde se coloque $h$, como usted ha mencionado. La respuesta a su última parte , es que tiene que ser parte de su propia equivalencia de clase, ya que está relacionado con la misma, y por lo tanto debe aparecer en una de las clases. Alternativamente, una partición cubre cada elemento, por lo que debe cubrir $h$. Esto nos da una de las tres posibilidades, de $1.[e,f,g,h],[i]$ , $2 . [e,f,g],[h],[i]$, e $3. [e,f,g],[h,i]$.
