¿Cómo obtener el límite inferior de$\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ de la serie de Taylor?

Question

Queremos demostrar a $$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.$$

Tengo algunas soluciones para esto, pero quiero encontrar otro método de aplicar el teorema del sándwich. Por lo tanto, un pensamiento natural es encontrar el límite superior y el límite inferior de $a_n$.

Observe que $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots.$$ Si sustituimos $x$ para $n$, luego $$e^n=1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}+\cdots>\frac{n^n}{n!}.\tag1$$ Por lo tanto, obtenemos $$e>\frac{n}{\sqrt[n]{n!}},$$ que muestra $e$ es una cota superior de a$a_n$.

Pero, ¿cómo obtener el límite inferior por $(1)$? A decir de nuevo. Tengo otros métodos para tratar con él. Me pregunto si hay algún método, dependiendo $(1)$ solo o no.

Answer 1

Sí, se puede hacer de esta manera. Escribir de nuevo $e^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}t_k$ con $t_k=\dfrac{n^k}{k!}$. Claramente, $t_k\leqslant t_n$ para todos los $k$.

Además, para $k>2n$ tenemos $t_k=t_{2n}\dfrac{n^{k-2n}}{(2n+1)\cdot\ldots\cdot k}< 2^{2n-k}t_{2n}\leqslant 2^{2n-k}t_n$ y por lo tanto $$e^n<(2n+1)t_n+t_n\sum_{k=2n+1}^{\infty}2^{2n-k}=(2n+2)t_n,$$ que le da $a_n>e(2n+2)^{-1/n}\to e$ cuando $n\to\infty$.

Answer 2

\begin{align*} e^n&=1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}+\cdots\\ &<(n+1)\cdot\frac{n^n}{n!}+\frac{n^n}{n!}\cdot\left[\frac{n}{n+1}+\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}+\cdots\right]\\ &< (n+1)\cdot\frac{n^n}{n!}+\frac{n^n}{n!}\cdot\left[\frac{n}{n+1}+\frac{n^2}{(n+1)^2}+\cdots\right]\\ &=(n+1)\cdot\frac{n^n}{n!}+\frac{n^n}{n!}\cdot n\\ &=(2n+1)\cdot \frac{n^n}{n!}. \end {align *} Por lo tanto, $$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}>\frac{e}{\sqrt[n]{2n+1}}.$ $