Estoy estudiando geometría diferencial con el libro "Godinho Natàrio - An introduction to Riemannian Geometry". Estas son las definiciones y teoremas con los que estoy trabajando:
Definición 1 (Pullback de un mapa lineal) Sea $V,W$ sean espacios vectoriales reales de dimensión finita, $F : V W$ sea un mapa lineal. Entonces para cada $k$ entero positivo definimos el pullback de $F$ como $$ F^* : \mathcal{T}^k(W^*) \to \mathcal{T}^k(V^*) \quad \quad (F^*T)(v_1, \dots, v_k) = T(F(v_1), \dots, F(v_k)) $$ para cualquier $v_1, \dots, v_k \in V$ . Aquí $\mathcal{T}^k(W^*)$ es el espacio de $k$ -tensores covariantes en $W$ .
Teorema 1.13 Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial real, $F : V V$ sea un mapa lineal y que $T \in \Lambda^n(V^*)$ (el espacio de $n$ -covariante de los tensores alternativos en $V$ ). Entonces $F^*T = (\det A)T$ , donde $A$ es cualquier matriz que represente $F$ .
Definición 2 (Pullback de un campo tensorial) Sea $M, N$ sean variedades suaves, $f : M \to N$ sea un mapa diferenciable. Entonces, cada mapa diferenciable $k$ -campo tensorial covariante $T$ en $N$ define un $k$ -campo tensorial covariante $f^*T$ en $M$ de la siguiente manera: $$ (f^*T)_p(v_1,...,v_k) = T_{f(p)}((df)_p(v_1),...,(df)_p(v_k)) $$ para cualquier $ v_1, \dots,v_k \in T_pM$ .
Entonces esta última definición se aplica también a una forma diferencial (siendo ésta una $k$ -covariante del campo tensorial alternativo).
Lo que no puedo entender es la siguiente observación en la página 73 :
Dejemos que $M,N$ sean variedades suaves y que $f: M \to N$ sea un mapa diferenciable s.t. $\dim(M)=\dim(N)=n$ . Sea $p \in M$ y considerar un sistema de coordenadas $x = (x^1, \dots, x^n)$ alrededor de $p$ s.t. $x: V \to \mathbb{R}^n$ y $y=(y^1, \dots, y^n)$ alrededor de $f(p)$ s.t. $y: W \to \mathbb{R}^n$ . Sea $\hat{f}:= y \circ f \circ x^{-1}$ sea la representación local de $f$ . Entonces del Teorema 1.13 : $$(f^*(dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n))_p = \det(d \hat{f})_{x(p)}(dx^1\wedge \dots \wedge dx^n)_p$$
¿Cómo puedo aplicar el Teorema 1.13 en esta situación? Es decir, "traduciendo" la definición 2 a la definición 1, tengo el pullback del mapa lineal $dF_p : T_pM \to T_{f(p)}N$ aplicado al elemento $dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n$ de $\Lambda^n(T_{f(p)}N^*)$ . ¡Pero esos espacios vectoriales no son iguales (como en la hipótesis del Teorema)!
Editar
Creo que se puede arreglar de esta manera:
Dejemos que $I_1 : \mathbb{R}^n \to T_pM$ y $I_2 : \mathbb{R}^n \to T_{f(p)}N$ sean dos isomorfismos s.t: $$ I_1(e^i) = \frac{\partial}{\partial x^i} \quad \quad I_2(e^i) = \frac{\partial}{\partial y^i} \quad \forall \, i = 1, \dots, n $$ donde $ \{ e^1, \dots, e^n \}$ es la base estándar de $\mathbb{R}^n$ .
Entonces $$ F := I_2^{-1} \circ df_p \circ I_1 : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$$ es un endomorfismo en $\mathbb{R}^n$ . Por el Teorema 1.13
$F^* = \det(A) \cdot$ ser $A$ la matriz que representa $F$ .
Por las propiedades de pullback tenemos
$$\det(A) \cdot = F^* = (I_2^{-1} \circ df_p \circ I_1)^* = I_1^* \circ (df_p^*) \circ (I_2^*)^{-1} \Rightarrow df_p^* = (I_1^*)^{-1} \circ (\det(A) \cdot) \circ I_2^*$$
Entonces
$$ (f^*(dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n))_p = df_p^* (dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n)= ((I_1^*)^{-1} \circ (\det(A) \cdot) \circ I_2^*) (dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n)= \det(A) (I_2 \circ I_1^{-1})^*(dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n) $$
Además $$I_2 \circ I_1^{-1} : T_p(M) \to T_{f(p)}N \quad \quad \frac{\partial}{\partial x^i} \mapsto \frac{\partial}{\partial y^i} $$ y luego
$$(I_2 \circ I_1^{-1})^*(dy^i) \biggl (\frac{\partial}{\partial x^j} \biggr) = dy^i \biggl ( (I_2 \circ I_1^{-1}) \biggl (\frac{\partial}{\partial x^j} \biggr) \biggr ) = dy^i \biggl ( \frac{\partial}{\partial y^j} \biggr ) = \delta_{ij} = dx^i \biggl (\frac{\partial}{\partial x^j} \biggr) $$ es decir $$(I_2 \circ I_1^{-1})^*(dy^i) =dx^i $$ y luego desde $ (I_2 \circ I_1^{-1})^* ( dy^i \wedge dy^j) = ((I_2 \circ I_1^{-1})^*dy^i) \wedge ((I_2 \circ I_1^{-1})^*dy^j)$ tenemos
$$(f^*(dy^1 \wedge \dots \wedge dy^n))_p = \det(A)(dx^1 \wedge \dots dx^n) $$
y es fácil demostrar que $A = [d\hat{f}]_{ij}$ .
¿Está bien?
