¿Cómo puedo probar que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},i)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+i)$?

Question

Es fácil demostrar que <span class="math-container">$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+i)\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},i)$</span>.

Pero, ¿cómo puedo mostrar que <span class="math-container">$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},i)\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+i)$</span>?

No puedo encontrar una manera de expresar <span class="math-container">$\sqrt[3]{2}$</span> <span class="math-container">$\sqrt[3]{2}+i$</span>.

Answer 1

Sigue una secuencia de maniobras que muestra cómo expresar $i$ e $\sqrt[3]2$ en términos de $\sqrt[3]2 + i$, y que, por ende, $\Bbb Q(\sqrt[3]2, i) = \Bbb Q(\sqrt[3]2 + i)$:

$\alpha = \sqrt[3]2 + i; \tag 1$

$\alpha - i = \sqrt[3]2; \tag 2$

$(\alpha - i)^3 = 2; \tag 3$

$\alpha^3 - 3 \alpha^2 i - 3 \alpha + i = 2; \tag 4$

$i(1 - 3\alpha^2) = 2 + 3\alpha - \alpha^3; \tag 5$

$i = \dfrac{\alpha^3 - 3\alpha - 2}{3\alpha^2 - 1} = \dfrac{2 + 3\alpha - \alpha^3}{1 - 3\alpha^2} \in \Bbb Q(\alpha) = \Bbb Q(\sqrt[3]2 + i); \tag 6$

$\sqrt[3]2 = \alpha - i \in \Bbb Q(\alpha) = \Bbb Q(\sqrt[3]2 + i); \tag 7$

a partir de (6), (7) y el hecho de que $\Bbb Q(\alpha) = \Bbb Q(\sqrt[3]2 + i) \subset \Bbb Q(\sqrt[3]2, i)$ afirmamos

$\Bbb Q(\sqrt[3]2, i) \subset \Bbb Q(\alpha) \Longrightarrow \Bbb Q(\sqrt[3]2, i) = \Bbb Q(\alpha) = \Bbb Q(\sqrt[3]2 + i). \tag 8$

N. B. de hecho Podemos derivar de (6) un sexto grado del polinomio satisfecho por $\alpha$:

$\alpha^3 - 3\alpha - 2 = i(3\alpha^2 - 1), \tag 9$

$(\alpha^3 - 3\alpha - 2)^2 = -(3\alpha^2 - 1)^2, \tag{10}$

$\alpha^6 + 9\alpha^2 + 4 - 6\alpha^4 - 4\alpha^3 + 6\alpha = -9\alpha^4 + 6\alpha^2 - 1, \tag{11}$

$\alpha^6 + 3\alpha^4 - 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 6\alpha + 1 = 0, \tag{12}$

consistente con los resultados de Parcly Taxel.

Answer 2

Considerar los números de la forma $$x_0+x_1a+x_2a^2+x_3i+x_4ai+x_5a^2i$$ donde $\sqrt[3]2=a$ e $x_i\in\mathbb Q$. Es fácilmente demostrado que estos números forman un espacio vectorial $V$ bajo la adición y cerrado bajo la multiplicación.

Consideremos ahora los poderes de $\sqrt[3]2+i=a+i=z$ de $z^0=1$ a $z^5$. Sin duda que todos estos números son de la forma anterior, y las seis potencias de $z$ son linealmente independientes en $V$, por lo que son una base. Invirtiendo esta base, es posible derivar una expresión para $\sqrt[3]2$ en términos de potencias de $z$, mostrando que es en $\mathbb Q(\sqrt[3]2,i)$, y del mismo modo para $i$.

Específicamente, $$\sqrt[3]2=\frac1{22}(91+100z-78z^2+40z^3-9z^4+12z^5)$$

Answer 3

Si usted es perezoso y no quiere calcular a mano, o desea verificar un mayor número de ejemplos similares y estar seguro de que no hay deslizamiento de la pluma en la solución, puede hacerlo con Macaulay2. Nota:

1) iJ es generado por el polinomio irreducible, que $z = i + 2^{1/3}$ tiene que cumplir.

2) La primaryDecomposition cálculos a continuación dar las representaciones de $v = p(z)$ para $v = i$ ($v^2 + 1 = 0$) y $v = 2^{1/3}$ ($v^3 - 2 = 0$). Usted puede leer fuera de los factores de la descomposición primaria. Si usted tiene varias posibilidades (de varios factores contienen un $p_i(z) = v$, aquí el caso en $v^2+1=0$), a continuación, se debe incrustar todo en (de punto flotante, la aproximación) del complejo (o real) de los números y calcular que $p_i(z) = v$ se ha cumplido. Aumentar la precisión, hasta que uno de $p_{i_0}(z) = v$ es de punto flotante de cero.

Macaulay2, version 1.12
with packages: ConwayPolynomials, Elimination, IntegralClosure, InverseSystems, LLLBases,
               PrimaryDecomposition, ReesAlgebra, TangentCone

i1 : R=QQ[x,y]

o1 = R

o1 : PolynomialRing

i2 : iI = ideal(x^2+1, y^3-2)

             2       3
o2 = ideal (x  + 1, y  - 2)

o2 : Ideal of R

i3 : R1=R/iI

o3 = R1

o3 : QuotientRing

i4 : S=QQ[z]

o4 = S

o4 : PolynomialRing

i5 : phi=map(R1,S,{x+y})

o5 = map(R1,S,{x + y})

o5 : RingMap R1 <--- S

i6 : iJ = ker phi

            6     4     3     2
o6 = ideal(z  + 3z  - 4z  + 3z  + 12z + 5)

o6 : Ideal of S

i7 : S1 = S/iJ

o7 = S1

o7 : QuotientRing

i8 : S11 = S1[v]

o8 = S11

o8 : PolynomialRing

i9 : primaryDecomposition ideal (S11/ideal(v^2 + 1))

              2               5     4      3      2                      2               5     4  
o9 = {ideal (v  + 1, 22v + 12z  - 9z  + 40z  - 78z  + 78z + 91), ideal (v  + 1, 22v - 12z  + 9z  -
     -----------------------------------------------------------------------------------------------
        3      2
     40z  + 78z  - 78z - 91)}

o9 : List

i10 : primaryDecomposition ideal (S11/ideal(v^3-2))

               3               5     4      3      2                       3         2       5     4
o10 = {ideal (v  - 2, 22v - 12z  + 9z  - 40z  + 78z  - 100z - 91), ideal (v  - 2, 22v  + (12z  - 9z 
      ----------------------------------------------------------------------------------------------
           3      2                    5     4      3       2
      + 40z  - 78z  + 100z + 91)v - 18z  + 8z  - 60z  + 106z  - 106z - 142)}

o10 : List