Que $G$ ser un grupo finito tal que $|G| = p$

Question

Deje $G$ ser un grupo finito tal que $|G| = p$ donde $p$ es primo. Deje $g,h$ ser elementos de $G$. ¿Cuáles son los posibles órdenes de $\langle g \rangle \cap \langle h \rangle$?

Mi pensamiento actual: quiero saber si $\langle g \rangle \cap \langle h \rangle = m$, $g|m$, e $h|m$, pero ¿cómo puedo determinar la $g$ e $h$ ?

Answer 1

$ \because G$ es cíclico de primer orden $p$ , para cada divisor $k$ de $p$, $G$ tiene exactamente un subgrupo de orden $k$

Aquí $1$ e $p$ son los únicos divisores, $k=1\;\text{or}\;p$

$H=\langle g \rangle \cap \langle h \rangle $ es un subgrupo de $G$, lo $\vert H \vert=1$ o $p$

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Tenga en cuenta que si $g=e$ o $h=e$, a continuación, $\langle g \rangle \cap\langle h \rangle=\{e\}$ lo contrario $\langle g \rangle \cap\langle h \rangle=G$