En la noción de ' números de bobina ' de mapas de $\mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$

Question

En análisis complejo, la liquidación número (alrededor del origen) de un bucle continuo $\gamma: [0,1] \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$ es el número de veces que los bucles de los "vientos" en torno a cero, el cual es dado por la integral

$$\frac{1}{2 \pi i}\int_\gamma \frac{dz}{z}$$

Uno de los resultados básicos de la topología algebraica es que se repite con el mismo bobinado números son homotópica.

Creo que está bastante claro que cualquier mapa continuo $f: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$ también debería llevar a una noción similar de 'liquidación número'. Debe ser definida por la integral de la $\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{dz}{z}$ (donde $ \gamma: [0,1] \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$ está dado por $\gamma(t) = f(e^{2 \pi it})$).

En este escenario, ¿el resultado anterior se mantienen, es decir, que continua mapas de $\mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$ con el mismo bobinado número de homotópica (a través de la continua mapas de $\mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} \setminus \{0\})$? ¿Cómo puedo ver esto? Es posible utilizar el resultado anterior (el equivalente a uno de los bucles) para la construcción de esta homotopy?

Answer 1

Supongamos $f : \mathbb C \setminus \{ 0 \} \to \mathbb C \setminus \{ 0 \}$ es cualquier mapa continuo tal que el bucle $$\gamma : S^1 \to \mathbb C \setminus \{ 0 \}, \ \ \ \gamma (t) = f(e^{2\pi it})$$ has winding number $$n.

Yo reclamo que $f$ es homotópica (a través de mapas $\mathbb C \setminus \{ 0 \} \to \mathbb C \setminus \{ 0 \}$) para el mapa $$ h_n : \mathbb C \setminus \{ 0 \} \to \mathbb C \setminus \{ 0 \} , \ \ \ h_n (re^{2\pi it})=e^{2\pi int}.$$ Si puedo probar esto, entonces esto sería suficiente para mí, para concluir que cualquiera de los dos mapas de $f_1, f_2 : \mathbb C \setminus \{ 0 \} \to \mathbb C \setminus \{ 0 \}$ tal que $t \mapsto f_1(e^{2\pi i t})$ e $t \mapsto f_2 (e^{2\pi i t})$ tienen el mismo bobinado número debe ser homotópica a cada uno de los otros.

Para la construcción de la homotopy entre $f$ e $h_n$, de proceder en dos pasos.

En primer lugar, debo definir el mapa $$ g : \mathbb C \setminus \{ 0 \} \to \mathbb C \setminus \{ 0 \} , \ \ \ g (re^{2\pi it})=f(e^{2\pi it}),$$ y tenga en cuenta que $f$ es homotópica a $g$ a través de la homotopy, $$ F : \mathbb C \setminus \{ 0 \} \times [0,1] \to \mathbb C \setminus \{ 0 \} , \ \ \ F(re^{2\pi it}, s) = f(r^{1-s} e^{2\pi it}).$$

El siguiente paso es utilizar el hecho de que, desde el $\gamma (t) = f(e^{2\pi it})$ tiene cuerda número $n$, $\gamma$ debe ser homotópica a la mapa $$w_n : S^1 \to \mathbb C \setminus \{ 0 \}, \ \ \ w_n (e^{2\pi it}) = e^{2\pi int}.$$

Supongamos que $Z : S^1 \times [0, 1] \to \mathbb C \setminus \{ 0 \}$ es un homotopy entre $\gamma$ e $w_n$. Entonces

$$ G : \mathbb C \setminus \{ 0 \} \times [ 0, 1] \to \mathbb C \setminus \{0 \}, \ \ \ G(re^{2\pi it}, s) = Z(e^{2\pi it}, s)$$ es un homotopy entre $g$ e $h_n$.

Habiéndose demostrado que la $f$ es homotópica a $g$ e $g$ es homotópica a $h_n$, llegamos a la conclusión de que $f$ es homotópica a $h_n$, y hemos terminado.

Answer 2

Kenny Wong respuesta es instructivo porque lo hace "a mano", pero aquí es mucho más condensada de la versión:

Una muy básico resultado es que el devanado de número de $\gamma$ sólo depende de la ruta homotopy clase de $\gamma$.

Deje $r:\mathbb{C}\setminus\{0\} \to S^1, z\mapsto \frac{z}{|z|}$, e $i:S^1\to \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Es entonces una clásica resultado que $r$ es una retracción por deformación en $S^1$.

Deje $f,g:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to \mathbb{C}\setminus\{0\}$ dos tarjetas con el mismo bobinado número. A continuación, compare $i\circ r\circ f\circ i$ e $i\circ r\circ g\circ i$: son dos mapas de $S^1\to \mathbb{C}\setminus\{0\}$ y desde $i\circ r \simeq id_{\mathbb{C}\setminus\{0\}}$, $i\circ r \circ f\circ i \simeq f\circ i$ y de manera similar con $g$, por lo que tienen, respectivamente, la liquidación número de $f$ e $g$. Por lo tanto son homotópica (utilizando el resultado de $S^1$). Por lo tanto $f\circ i$ e $g\circ i$ . Por lo tanto $f\circ i \circ r$ e $g\circ i \circ r$ , y por lo tanto $f$ e $g$ .