¿Qué forma de taza mantiene una bebida caliente más largo?

Question

Tengo una selección de tazas de formas distintas. Algunos son más altos cilindros alargados, otros son similares en altura a su diámetro, y algunos son más planas, vasos más anchos.

Me preguntaba, que forma de taza debo usar si quiero que mi té o café a permanecer más caliente durante más tiempo?

Todos son de cerámica y no tienen tapa (obviamente un viaje-estilo de la taza pegaba a otros estilos, pero vamos no te preocupes por eso; estoy interesado en "estándar" tazas).

Quiero algo que está más cercano a la forma de una esfera para minimizar el área total de la bebida? O no me quieres algo con la menor área expuesta al aire para minimizar la convección? O existe alguna otra consideración que gana?

Answer 1

Considere la posibilidad de una taza cilíndrica con un radio de $r$ y la altura de la $h$. Se va a celebrar el volumen de $V=\pi r^2h$ y tienen área de $A=2\pi (r h + r^2)$. Si asumimos que pierde calor de la energía proporcional a la temperatura y el área obtenemos la ecuación $$CV T' = -kAT$$ where $C$ is the heat capacity, $k$ is a factor containing heat conductivity plus convection and we assume $T$ is the temperature above the ambient environment. The solution is $$T(t)=T_0 e^{-(k/C)(A/V)t}.$$ So to make this as slow as possible we should let $A/V \rightarrow 0$, o simplemente hacer que el volumen de ir hasta el infinito.

Que es un poco aburrido. Para un volumen dado (uno no puede tomar una cantidad arbitrariamente grande de bebida), lo que minimiza $A/V$? Si establecemos $V=1$ (ya que sólo se preocupan por la forma) $h=1/\pi r^2$ e $A/V=2 (1/ r + \pi r^2)$. Tomando la $r$ derivados y ajuste a cero, obtenemos $-1/r^2 + 2\pi r=0$, el cual es resuelto por $r_*=(1/2\pi)^{1/3}\approx 0.5419$. La correspondiente altura se $h_*=1/\pi r_*^2=2^{2/3}\pi^{-1/3}\approx 1.0839 = 2r_*$. Que no es sorprendente, ya que debemos esperar la taza perfecta para estar tan cerca esférica como sea posible, y aquí la altura es igual al diámetro. Sin embargo, el óptimo es bastante superficial: la mayoría de las tazas de trabajo bastante bien el volumen y el material de la materia más que la forma.

¿Qué pasa con una parte superior de la superficie de la realización o convecting de calor a una tasa diferente de los lados? Si la pérdida de calor es $T' = -(1/CV)[k_1(2\pi r h + \pi r^2)+k_2(\pi r^2)]T$ queremos minimizar $[k_1(2\pi r h + \pi r^2)+k_2(\pi r^2)]$ sujeto a $V=1$. Veamos $k_1=1$ , para reducir el número de variables. $f(r)=2/r + \pi (1 + k_2) r^2$, $f'(r)=-2/r^2+2\pi(1+k_2)r$ y obtenemos $r_*=(1/\pi(1+k_2))^{1/3}$. Así que si $k_2$ es mayor de 1 queremos un hombre alto, estrecho de la copa. Pero incluso para $k_2=10$ esto quiere decir $r_*\approx 0.3070$ - el cambio es bastante modesto.