Una pregunta de teoría de números interesante para el entrenamiento de concursos de matemáticas$x^2+x=2y^3$ (encontrar soluciones enteras)

Question

Esta pregunta es una de mi notebook y me lo marcó como un problema resuelto. Sin embargo, de alguna manera, no puedo recordar la prueba o tal vez mi solución en el pasado fue malo. La primera cosa que he intentado es muptiply ambos lados por 4 y, a continuación, además de para obtener la ecuación de la forma: $(2x+1)^2=(2y+1)(4y^2-2y+1)$. Hay 2 casos, si $2y+1$ e $4y^2-2y+1$ son coprime, a continuación, el resto es fácil. Sin embargo, si $gcd(2y+1,4y^2-2y+1)=3$, he intentado varias formas y no pudo terminar la prueba.
Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Multiplicar por $4$ : $$(2x+1)^2-1=(2y)^3$$
Es conocido desde Euler que esta ecuación(consulte la página 6) implica $2y=0, 2, -1$. Por lo tanto, $y=0$ e $x=-1$ o $y=1$ e $x=1$.

Answer 2

Bienvenido. Simplemente puede resolver esta ecuación:

$x^2+x-2y^3=0$

$\Delta=1+8y^3$

$y=1$ ⇒ $\Delta=9$ ⇒ $x=1$ y $x=-2$

Creo que estas son solo soluciones enteras. puede trabajar en $\Delta$ para varios valores de y.