Combinación convexa generalizada mediante matrices

Question

A combinación convexa entre dos puntos $x_1$ y $x_2$ en $\mathbb{R}^N$ se define como:

$$x(\lambda) = \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2, \qquad \lambda \in [0,1].$$

Aquí $x(0) = x_2$ , $x(1) = x_1$ y el conjunto $x(\lambda)$ (cuando $\lambda$ varía) puede interpretarse como el segmento de línea entre $x_1$ y $x_2$ que a su vez es un conjunto convexo.

Esto podría generalizarse a matriz combinaciones, por ejemplo:

$$x(A) = A x_1 + (I-A)x_2, \qquad 0 \preceq A \preceq I,$$

donde $I$ es la matriz de identidad, $A \preceq B \Leftrightarrow B-A$ semidefinido positivo, y de forma similar aquí $x(0) = x_2$ y $x(I) = x_1$ .

Pregunta Lo que se puede decir del conjunto $S = \{A x_1 + (I-A)x_2 | 0 \preceq A \preceq I\}$ ? En particular, ¿existe alguna interpretación geométrica de S?

En general, para $M$ punto $\{x_i\}_{1,...,M}$ se podría considerar: $$\left\{\sum_{i=1}^M A_ix_i \;\Bigg| \;\sum_{i=1}^M A_i = I, \, \quad 0 \preceq A_i \preceq I\right\},$$ que se simplifica a la casco convexo de $\{x_i\}_{1,...,M}$ cuando $A_i = \lambda_i I$ , $\sum \lambda_i = 1$

Answer 1

Dejemos que $$[x, y] = \{Ax + (I-A)y : 0 \preceq A \preceq I\}.$$ Así que, como he conjeturado en los comentarios, $$[x, y] = \left\{z \in \mathbb{R}^N : y \cdot (x - y) \le z \cdot (x - y) \le x \cdot (x - y)\right\},$$ que es la región entre dos hiperplanos perpendiculares al vector $y - x$ . Para ver geométricamente por qué esto es cierto, considere la condición de $0 \preceq A$ es decir, que $v^\top A v \ge 0$ para todos los vectores columna $v$ , o de forma equivalente, $v \cdot (Av) \ge 0$ . Es decir, el ángulo entre $v$ y $Av$ debe permanecer agudo (u ortogonal).

Del mismo modo, ya que $I - A \succeq 0$ el ángulo entre $v - Av$ y $v$ es como máximo $\pi/2$ .

Para probarlo, arregla $A$ tal que $0 \preceq A \preceq I$ y que $$z = Ax + (I - A)y = y + A(x - y) = x + (I - A)(y - x).$$ Entonces, $$(x - y)^\top z = (x - y)^\top y + (x - y)^\top A (x - y) \ge (x - y)^\top y.$$ Por otro lado, $$(x - y)^\top z = (x - y)^\top x - (x - y)^\top (I - A)(x - y) \le (x - y)^\top x.$$ Por lo tanto, como se requiere, $$y \cdot (x - y) \le z \cdot (x - y) \le x \cdot (x - y).\tag{$ 1 $}$$ Queda por demostrar lo contrario. Fijar un $z$ que satisface $(1)$ . Encuentre una base ortonormal para $\mathbb{R}^N$ empezando por $\frac{x - y}{\|x - y\|}$ : $$\mathcal{E} = \left(e_1 = \frac{x - y}{\|x - y\|}, e_2, e_3, \ldots, e_N\right).$$ Definir una transformación lineal $A$ por el mapeo $\frac{x - y}{\|x - y\|}$ a $\frac{z - y}{\|x - y\|}$ y $e_i$ a $0$ para $i \ge 2$ . Tenga en cuenta que $$A(x - y) = z - y \implies z = Ax + (I - A)y.$$ También afirmo que $A$ y $I - A$ son positivas definidas. Para ver esto, consideremos un vector $v = \sum_{i=1}^N a_i e_i$ entonces $$v \cdot (Av) = \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^N a_i a_j e_i \cdot Ae_j = a_1^2 \frac{x - y}{\|x - y\|} \cdot \frac{z - y}{\|x - y\|} \ge 0.$$ También hay que tenerlo en cuenta, $$v \cdot ((I - A)v) = \|v\|^2 - v \cdot (Av) = \sum_{i=2}^N a_i^2 + a_1^2 \left[1 - \frac{(x - y) \cdot (z - y)}{\|x - y\|^2}\right] \ge 0$$ como $\|x - y\|^2 - (x - y) \cdot (z - y) = (x - y) \cdot (x - z) \ge 0$ . Así, $0 \preceq A \preceq I$ según sea necesario.