Dos secuencias convergentes resultan en un tercero

Question

¿Puede alguien ayudarme con esto, me quedé atascado en esto?

Sean $a_n$ y $b_n$ (para $n$ un entero no negativo) dos secuencias de números reales tal que $\lim_{n\to \infty}a_n=a$ y $\lim_{n\to \infty}b_n=b$. Demuestra que $\lim_{n\to \infty} \frac{a_0b_n+a_1b_{n-1}+....+a_nb_0}{n}=ab$.

Answer 1

Escribe $\Delta_n=a_n-a$ y $\delta_n=b_n-b$; claramente ambos convergen a $0$. Entonces

$$\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)-ab=\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^n \left((\Delta_k+a)b_{n-k}-ab\right)\right)=\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^n\left(\Delta_k b_{n-k}+a\delta_{n-k}\right)\right).$$

Dado que $b_i$ converge, podemos decir que está acotado en magnitud por $B$. Todo lo que tienes que probar ahora es que

$$\lim_{m\to\infty}c_m=0\implies\frac{c_0+c_1+\cdots+c_m}{m}\to0. $$

Answer 2

Denotando $M:=\sup_{k\in\mathbb N}|a_k|<\infty$ \begin{align}\frac 1n\left|\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}-ab\right|&\leq \frac 1n\left|\sum_{k=0}^na_k(b_{n-k}-b)\right|+\frac 1n\left|\sum_{k=0}^n(a_k-a)b\right|\\ &\leq \frac Mn\sum_{k=0}^n|b_k-b|+\frac{|b|}n\sum_{k=0}^n|a_k-a|, \end{align} así para todo $N\in\mathbb N$: $$\limsup_n\frac 1n\left|\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}-ab\right|\leq \limsup_n\frac Mn\sum_{k=N}^n|b_k-b|+\limsup_n\frac{|b|}n\sum_{k=N}^n|a_k-a|,$$ y fijando $\delta>0$, y $N$ tal que si $k\geq N$ entonces $\max\{|a_k-a|,|b_k-b|\}\leq \delta$ obtenemos $$\limsup_n\frac 1n\left|\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}-ab\right|\leq\limsup_n\frac{n-N+1}n(M+|b|)\delta=(M+|b|)\delta$$ y dado que $\delta$ es arbitrario, concluimos que $\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}=ab$.