Una buena aproximación que he encontrado para $p_{n}$ es
\begin{align} \int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)))\, dx\\ \end{align}
y parece ser una mejor estimación de $n \log (n)$.
El término de error parece estar de acuerdo con la expansión asintótica de Cipolla:
$$p_n=n\log n+n\log\log n-n n+\frac{\log\log n}{\log n}+O(n(\log\log n/\log n)^2)$$
(a partir de este MO hilo) donde el $O$ término es reemplazado por una constante (en este caso, $-e$).
Tal vez más interesante, parece que la aplicación de sucesivas $\log$ términos de la integral
\begin{align} &\int_{2}^{n}\log (x)\ dx&\etiqueta{1}\\ &\int_{2}^{n}\log (x \log (x))\ dx &\etiqueta{2}\\ &\int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)))\ dx &\etiqueta{3}\\ &\int_{2}^{n}\log (x \log (x \dots \log (x)))\ dx &\etiqueta{4}\\ \end{align}
parece que se mueve muy lentamente hacia una mejor asintótica. Es este el caso?
Agregó
Los resultados numéricos en @RghtHndSd de la solicitud:
En primer lugar, la comparación de $\color{blue}{n \log (n)},\ \color{verde}{\int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)))\ dx}$ y $\color{red}{p_{n}}$ en las sucesivas potencias de 10 $$
con
p[x_] := Round@(x Log[x])
p3[x_] := Round@NIntegrate[Log[n Log[n Log[n]]], {n, 2, x}]
Grid[tab2 = Table[{Style[p[n], FontColor -> Blue],
Style[p3[n], FontColor -> Darker@Green],
Style[Prime[n], FontColor -> Red]}, {n, Table[10^j, {j, 1, 12}]}],
ItemSize -> All, Alignment -> Left]
y, a continuación, comparar las sucesivas $\log$ términos
con
p1[x_] := Round@NIntegrate[Log[n], {n, 2, x}]
p2[x_] := Round@NIntegrate[Log[n Log[n]], {n, 2, x}]
p3[x_] := Round@NIntegrate[Log[n Log[n Log[n]]], {n, 2, x}]
p4[x_] := Round@Re@NIntegrate[Log[n Log[n Log[n Log[n]]]], {n, 2, x}]
p5[x_] := Round@Re@NIntegrate[Log[n Log[n Log[n Log[n Log[n]]]]], {n, 2, x}]
Grid[tab2 = Table[{p1[n], p2[n], p3[n], p4[n], p5[n]},
{n, Table[10^j, {j, 1, 12}]}], ItemSize -> All, Alignment -> Left]
que, a pesar de p5[n] supera los $p_{n}$ en $10^{12}$, los sucesivos registro de términos añadido a la integral enfoque claramente un límite cerca de la asíntota de $p_{n}$. Esto no es tan bueno, creo que, como $\operatorname{li}^{-1}(n)$, pero esto es difícil de calcular para grandes $n$.
La mejora de los resultados
Puede ser que
\begin{align} &\int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)/e))\, dx\\ \end{align}
es mejor.
\begin{align} && \text{columna de la izquierda}&\quad\left|1-n \dfrac{\log(n)}{p_{n}}\right|&\\ \\ && \text{columna del medio}&\quad\left|1-\dfrac{\int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)))\ dx}{p_{n}}\right|&\\ \\ && \text{derecha}&\quad\left|1-\dfrac{\int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)/e))\ dx+\frac{9}{2}\sqrt{n}}{p_{n}}\right|&\\ \end{align}
ejecución de $10^{1}$ a $10^{12}$.
Mejoras de menor importancia
Como dice daniel, es probable que hay un montón de trailing términos. La mejor en la que he sido capaz de administrar hasta ahora es
\begin{align} &\int_{2}^{n}\log (x \log (x \log (x)/e))\ dx+4 \sqrt{x}+\frac{x}{23 \log ^2(x)}+\frac{x}{23 \log (x)}+\frac{\sqrt{x}}{23 \log (x)}\\ \end{align}
pero es realmente sólo precisa de hasta $10^{11}$
que puede ser visto a la cola fuera justo después de $10^{11}$.
pbs[x_] := Re@NIntegrate[Log[n Log[n Log[E^E, n]]], {n, 2, x}]
+ 4 Sqrt[x] + Sqrt[x]/(23 Log[x]) + x/(23 Log[x]) + x/(23 Log[x]^2)
GraphicsGrid[{
Table[ListLinePlot[Transpose@Table[{(pbs[n] - Prime[n])
/(30 Sqrt[n]/Log[n])}, {n, 2, 10^k, 10^(k - 1)/2}]], {k, 2, 4}],
Table[ListLinePlot[Transpose@Table[{(pbs[n] - Prime[n])
/(30 Sqrt[n]/Log[n])}, {n, 2, 10^k, 10^(k - 1)/2}]], {k, 5, 7}],
Table[ListLinePlot[Transpose@Table[{(pbs[n] - Prime[n])
/(30 Sqrt[n]/Log[n])}, {n, 2, 10^k, 10^(k - 1)/2}]], {k, 8, 10}],
Table[ListLinePlot[Transpose@Table[{(pbs[n] - Prime[n])
/(30 Sqrt[n]/Log[n])}, {n, 2, 10^k, 10^(k - 1)/2}]], {k, 11, 12}]}, ImageSize -> 1000]]
