Media de dos números por secuencias infinitas.

Question

Considere dos números de $a$ e $b$, y la siguiente secuencia alternando entre pares e impares posiciones: $$ a+2b+3a+4b+5a+6b\ldots, $$ Si nos "normalizar" $$ \frac{a+2b+3a+4b+\ldots}{1+2+3+4+\ldots}, $$ resulta que esta proporción se aproxima al valor de la media de $a$ e $b$: $(a+b)/2$. En general $$ \frac{a+2^n b+3^n un+4^n b+\ldots}{1^n+2^n+3^n+4^n+\ldots}=\frac{a+b}{2} $$ para $n\geq1$. Sin embargo, si hacemos uso de las funciones exponenciales en lugar poderes: $$ \frac{m^1+m^2 b+m^3+m^4 b+\ldots}{m^1 +m^2 +m^3 +m^4 +\ldots} $$ para algunos $m>1$, esta proporción oscila y no acercarse a cualquier número.

Podría alguien explicar por qué la convergencia con la media obtenida por el uso de secuencias de poderes, y la relación se aparta de las secuencias exponenciales?

Answer 1

Para dar una evaluación, para hacer más riguroso, en el primer caso tenemos

$$1^n+2^n+3^n+4^n+\ldots+k^n\sim \frac{k^{n+1}}{n+1}$$

$$a+2^n b+3^n a+4^n b+\ldots+k^nb\sim a\left(\frac{k^{n+1}}{n+1}-2^n\frac{k^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\right)+2^nb\frac{k^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}=$$$$=\frac12(a+b)\frac{k^{n+1}}{n+1}$$

y por lo tanto

$$\frac{a+2^n b+3^n a+4^n b+\ldots+k^nb}{1^n+2^n+3^n+4^n+\ldots+k^n}\sim \frac{\frac12(a+b)\frac{k^{n+1}}{n+1}}{\frac{k^{n+1}}{n+1}}\to \frac{a+b}{2}$$

Por otra parte, para $m\neq 1$

$$m^1 +m^2 +m^3 +m^4 +\ldots+m^k =\frac{m^{k+1}-m}{m-1}$$

$$m^1 a+m^2 b+m^3 a+m^4 b+\ldots+m^kb\sim a\left(\frac{m^{k}-m}{m-1}-\frac{m^{k}-m^2}{m^2-1}\right)+b\frac{m^{k+2}-m^2}{m^2-1}=$$

$$=a\frac{m^{k+1}-m}{m^2-1}+b\frac{m^{k+2}-m^2}{m^2-1}$$

y por lo tanto

$$\frac{m^1 a+m^2 b+m^3 a+m^4 b+\ldots+m^kb}{m^1 +m^2 +m^3 +m^4 +\ldots+m^k}\sim \frac {a+bm} {m+1}$$

pero para

$$m^1 a+m^2 b+m^3 a+m^4 b+\ldots+m^ka$$

nos gustaría obtener

$$\frac{m^1 a+m^2 b+m^3 a+m^4 b+\ldots+m^ka}{m^1 +m^2 +m^3 +m^4 +\ldots+m^k}\sim \frac {am+b} {m+1}$$

Answer 2

Algunos pensamientos; no estoy seguro si esta totalmente respuestas "por qué" sino el intento:

La diferencia en los coeficientes de $a$ e $b$ va aproximadamente como el último coeficiente plazo (lo que uno se viene por delante es por tanto). En el caso polinomial esta diferencia llega a ser pequeña en relación a las sumas; en el geométrica caso, este queda grande.

Esto es debido a que el último término de una progresión geométrica de la relación de $m > 1$, no importa el tiempo, es una fracción constante de su suma. Pero para un polinomio de secuencia, finalmente, el último término se convierte en una minúscula fracción de la suma.

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Más formalmente: considere una secuencia de positivos reales $c_1, c_2, \dots$ (puede ser geométrica, polinomio, lo que sea). Estamos interesados en

$$\frac{c_1a + c_2b + c_3a + \dots}{c_1 + c_2 + c_3 + \dots}$$

O, más precisamente, dejar que la suma parcial $s_k = \sum_{1 \le i \le k} c_i$. Deje que la suma de términos raros $o_k = \sum_{1 \le 2i-1 \le k} c_{2i-1}$ y la suma de hasta términos $e_k = \sum_{1 \le 2i \le k} c_{2i} = s_k - o_k$. Estamos interesados en

$$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{o_k a + e_k b}{s_k}$$

Ahora podemos observar esta converge para todos los $a, b$ si y sólo si $\frac{o_k}{s_k}$ converge.

Así que la pregunta es: ¿para qué tipo de secuencias no $\frac{o_k}{s_k}$ convergen?

No tiene una buena respuesta completa a esta.

Pero estamos más interesados en el caso de $c_i$ aumenta parece, así que vamos a limitarnos a ese caso. De ahora en adelante $c_i$ están en aumento.

En este caso, podemos decir lo siguiente (la versión formal de la anterior)

Reclamo:

(i) si $\frac{c_k}{s_k} \rightarrow 0$ entonces $\frac{o_k}{s_k} \rightarrow \frac{1}{2}$.

(ii) si $\frac{o_k}{s_k} \rightarrow L$ entonces $L = \frac{1}{2}$ e $\frac{c_k}{s_k} \rightarrow 0$.

Prueba de reclamación:

Observe primero que $\frac{o_k}{s_k} \rightarrow L$ si y sólo si $\frac{o_k - e_k}{s_k} \rightarrow 2L-1$. En particular, $\frac{o_k}{s_k} \rightarrow \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{o_k - e_k}{s_k} \rightarrow 0$

(i) Suponga $\frac{c_k}{s_k} \rightarrow 0$. Debido a que el $c_i$ son crecientes y positivas: cuando $k$ es impar, $0 \le o_k - e_k \le c_k$. Cuando $k$ incluso $0 \le e_k - o_k \le c_k$. Por lo $\left|\frac{o_k - e_k}{s_k}\right| \le \frac{c_k}{s_k}$ para todos los $k$, por lo tanto $\left|\frac{o_k - e_k}{s_k}\right| \rightarrow 0$.

(ii) Suponga $\frac{o_k}{s_k} \rightarrow L$. Tenemos $\frac{o_k - e_k}{s_k} \rightarrow 2L-1$. Pero como en (i) tenemos $o_k - e_k \ge 0$ por extraño $k$ e $o_k - e_k \le 0$ incluso $k$. Así que debemos tener $2L-1 = 0 \Rightarrow L = 1/2$.

Ahora vamos a intentar límite superior $\frac{c_k}{s_k}$ en términos de $|\frac{o_k - e_k}{s_k}|$.

Para cualquier extraño $k$, $(e_{k-1} - o_{k-1}) + (o_k - e_k) = o_k - o_{k-1} = c_k$. Tanto los términos son positivos, por lo que tenemos que, o bien $\frac{c_k}{2} \le e_{k-1} - o_{k-1} = |o_{k-1} - e_{k-1}|$ o $\frac{c_k}{2} \le o_k - e_k = |o_k - e_k|$. Esto también se aplica para incluso $k$ y puede ser demostrado de manera similar.

Así tenemos

$$c_k \le 2\left(\max \{|o_{k-1} - e_{k-1}|, |o_k - e_k|\}\right)$$

Dividir ambos lados por $s_k$, y vemos que el lado derecho tiende a 0 y, por tanto, $\frac{c_k}{s_k} \rightarrow 0$ $\square$.

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Aplicado al polinomio caso: tenemos $c_1, c_2, \dots = 1^n, 2^n, \dots$. Vamos límite inferior $s_k$ por algún múltiplo de $k^{n+1}$. A muy grandes rasgos, tenga en cuenta que para decir $k \ge 4$, $$s_k = \sum_{i=1}^k i^n \ge \sum_{i \ge k/2} i^n \ge \sum_{i \ge k/2} \left(\frac{k}{2}\right)^n \ge \lfloor \frac{k}{2} \rfloor \left(\frac{k}{2}\right)^n \ge \frac{k}{4}\left(\frac{k}{2}\right)^n = \frac{k^{n+1}}{2^{n+2}}$$ Y por lo $\frac{c_k}{s_k} \le \frac{2^{n+2}}{k} \rightarrow 0$ como $k \rightarrow \infty$.

A partir de la demanda, esto significa $\frac{o_k}{s_k} \rightarrow \frac{1}{2}$ y por tanto la secuencia de las fracciones $\frac{o_ka + e_kb}{s_k}$ enfoques $\frac{a+b}{2}$ como se esperaba.

Geométricas caso: Por la fórmula de la suma de la serie geométrica, podemos demostrar que $\frac{c_k}{s_k} = \frac{m^{k-1}}{(m^{k} - 1)/(m - 1)} \ge \frac{m-1}{m}$; por lo tanto no puede ir a 0. Por el siniestro, la serie de fracciones diverge.

[Más específicamente, creo que puede ser demostrado que $\frac{o_k}{s_k}$ oscila entre los $\frac{1}{m+1}$ y ligeramente más grande que $\frac{m}{m+1}$, el uso de los hechos de que incluso $k$, $e_k = mo_k$ y por extraño $k$, $o_k = me_k + c_1$]