Infinitamente muchos campos de número de

Question

Me pregunto si se sabe que hay $\textit{infinitely}$ muchos campos de número de $F$ (hasta el isomorfismo) fija con grado de $[F:\mathbb{Q}]=n$ fijo y un transitiva grupo $G$ de $S_n$ tal que $G=\textrm{Gal}(F^c/\mathbb{Q})$ (si asumimos inversa Galois tiene por $G$).

Obviamente, hay un número finito de los campos de número de $F$ si hacemos una restricción para $F$ tal que $|d_{F}|<M$ para algunos $M>0$. Esto es a partir del teorema de Hermite.

Answer 1

Básicamente, no.

Una comparación es con (un caso especial de) del Teorema de Dirichlet. Por ejemplo, dado un entero $n$, supongamos que usted sabe que existe un primer $p \equiv 1 \bmod n$, entonces usted puede preguntar si existe infinitamente muchos primos $p \equiv 1 \bmod n$? No hay realmente ningún mecanismo para pasar de uno al otro.

Por supuesto, hay una variante. Si sabían que existía al menos un primer $p \equiv 1 \bmod n$ para todos los $n$ a continuación, se puede deducir que existen infinitos números primos. Prueba: Dados los números primos $p_1, \ldots, p_k$ que se $1 \bmod n$, se nos garantiza una prime $p \equiv 1 \mod p_1 p_2 \ldots p_k n$. Ciertamente, $p \ne p_i$ cualquier $i$, por lo que tenemos un nuevo prime $p \equiv 1 \bmod n$.

Lo mismo es cierto en su caso. Claramente, si usted sabía que había al menos una extensión de Galois grupo $G$ cualquier $G$, usted puede encontrar una infinidad de con grupo de Galois $G$. (Considere los campos con grupo de Galois $G \times G \times \ldots G$ para las grandes y más grandes de los productos de $G$.)

Nota la analogía con Dirichet del teorema es más fuerte de lo que uno podría esperar: Encontrar una infinidad de campos con grupo de Galois $\mathbf{Z}/n \mathbf{Z}$ es exactamente el mismo como encontrar una infinidad de números primos $p \equiv 1 \bmod n$.

Ahora hay un par de trucos baratos en algunos casos. Supongamos que conocía a la inversa Galois problema para una clase de grupos (es decir abelian grupos, lo cual es cierto). Y supongamos que $G$ tiene la propiedad de que existe un surjection

$$\phi: G \times A \rightarrow G$$

para algunos abelian grupo $A$ para que la imagen de $A$ es no trivial. Luego se le da una extensión de Galois $F$ con grupo de Galois $G$ uno puede encontrar infinidad --- por supuesto, hay infinitamente muchos campos de $E$ con grupo de Galois $A$, y, a continuación, el uso de $\phi$ podemos encontrar un subcampo de la compositum $E.F$ que ha Galois grupo $G$ y no es isomorfo a $F$ (uso básico de la teoría de Galois). Por ejemplo, vamos a $G$ ser cualquier grupo con un no-trivial centro. A continuación, hay un mapa

$$\phi: G \times Z \rightarrow G$$

el envío de $(g,z)$ a $gz$. Así que esto funciona si $Z(G) \ne 1$. Esto está relacionado con el siguiente ejemplo. Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbf{Q}$, y supongamos que la extensión de Galois de $\mathbf{Q}(E[p])$ tiene grupo de Galois $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_p)$. Si $p > 2$, el centro de $G$ tiene un elemento de orden $2$. Por lo tanto, hay un mapa

$$\phi: \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_p) \times \mathbf{Z}/2 \mathbf{Z} \rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_p)$$

como en el anterior, y se obtiene un tipo de extensión para cada cuadrática campo. De hecho, la extensión correspondiente también viene de otra curva elíptica, es decir, el giro de $E$ por la cuadrática carácter de la cuadrática de extensión, dando lugar a que el grado de $2$ de extensión.

OTOH, si $G$ es simple, entonces la única manera de obtener la no-trivial, mapas de $G \times A \rightarrow G$ es de $A$ a surject en $G$. (p.s. esta última construcción es conocido como "el cruce" de las extensiones, y por primera vez en Cebotarev la prueba de su teorema)