Continua pero no derivable?
Si usted tiene una función que es continua en todas partes, esto no necesariamente significa que su derivada existe en todas partes, ¿correcto? por ejemplo, $f(x)=|x|$ tiene un indefinido derivado en $x=0$
...sí, pero que la OMI no es realmente una buena manera de hablar de ello. Diciendo: "su derivado", es decir, la derivada en un punto único, pero, a continuación, argumentando que no existe es... ok, pero si vienes este ángulo, entonces usted debería mejor decir una derivada no existe en $x=0$. I. e., no existe ninguna función afín $g_0$ tales que la diferencia entre los $f$ e $g_0$ se desvanece con $\mathcal{O}(\Delta x^2)$ todo $x=0$. O simplemente, $f$ no es diferenciable.
La razón por la que podemos hablar de "la" derivado de otros lugares, es que (por diseño) si cualquier derivado existe, entonces él es el único, único. Pero si no existe ninguno, a continuación, así, no puede ser único.
Por lo que esta función anterior, a pesar de su continua, no tiene un continuo de derivados?
Aquí es al revés: ahora usted está hablando acerca de la derivada de una función. Esto ya supone que se ha comprobado la diferenciabilidad en todas partes en el dominio. Pero como hemos dicho no existe un local derivado en $x=0$, así también no existe la derivada como una función de y, entonces, cualquier discusión acerca de si es o no es continua, no tiene sentido.
$f$ , sin embargo, se han generalizado / débil derivados, en un sentido integral. Por ejemplo
$$
g_\mathrm{l}(x) = \begin{cases}-1 & \text{for %#%#%} \\ 1 & \text{else}\end{casos}
$$
cumple
$$
\int\limits_0^x\mathrm{d}\xi \: g_\mathrm{l}(\xi) = f(x).
$$
Pero $x\leq 0$ no es única en este sentido: la (Lebesgue) integral nunca está influido por los cambios en un solo punto (o, de hecho, en cualquier contables conjunto de puntos, en general, en cualquier null conjunto). En particular, usted podría tener también elegido
$$
g_\mathrm{r}(x) = \begin{cases}-1 & \text{for %#%#%} \\ 1 & \text{else}\end{casos}
$$
o
$$
g_\mathrm{m}(x) = \begin{cases}-1 & \text{for %#%#%} \\ 0 & \text{for %#%#%} \\ 1 & \text{else.}\end{casos}
$$
Ninguno de estos son, por supuesto, continua. En ese sentido, "$g_\mathrm{l}$ ha discontinuo derivados", es una especie de "físico-correcta", pero no muy riguroso en el estándar de sentido, que está configurado de tal manera que si cualquier derivado existe, es el único derivado. Para $x< 0$, todos los de $x< 0$, $x=0$ e $f$ puede igualmente afirman ser los derivados de la $f(x) = |x|$, pero todos débil derivados. Ninguno es la derivada.
Discontinua pero diferenciable?
Por ejemplo, considere la posibilidad de
$g_\mathrm{l}$
Por lo que su derivada es -1 en todas partes, de ahí continua, pero la función no es continua?
Noo, "su derivada es -1 en todas partes" es incorrecta porque no tienen un derivado. No puede ser diferenciable, ya que no se aun continuo!
Lo que implícitamente se hace en su razonamiento es independiente de la función en dos dominios
$$\begin{align}
f_\mathrm{l} & \colon\quad ]-\infty,0[ \to \mathbb{R},& f_\mathrm{r} &\colon\quad ]0,\infty[ \to \mathbb{R}
\\ f_\mathrm{l}&(x) = 1-x & f_\mathrm{r}&(x) = 2-x.
\end{align}$$
A continuación, ambos $g_\mathrm{m}$ e $g_\mathrm{r}$ son de hecho diferenciable, y para cada uno de los que la derivada es una función constante que da $f$ todas partes. Pero todavía están dadas en diferentes dominios:
$$\begin{align}
f_\mathrm{l}' & \colon\quad ]-\infty,0[ \to \mathbb{R},& f_\mathrm{r}' &\colon\quad ]0,\infty[ \to \mathbb{R}
\\ f_\mathrm{l}'&(x) = -1 & f_\mathrm{r}'&(x) = -1.
\end{align}$$
Estos son no la misma función. Y este no le dice nada acerca de la diferenciabilidad de $f(x)=\begin{cases}1-x & x<0 \\ 2-x & x\geq0\end{cases}.$ en todo su dominio $f_\mathrm{l}$. De hecho, $f_\mathrm{r}$ no es ni siquiera débilmente diferenciable – para cualquier débilmente función derivable en a$-1$ no es una función continua que difiere de él en sólo un conjunto null, pero no hay manera de suavizar $f$ a algo continuo sin cambiar sus valores en un todo conjunto abierto de alrededor de 0.
