¿Limita significa sustituir el $x$ para un número?

Question

No entiendo mucho del límite. Por ejemplo veo $\lim_{x \to -3}$. Y siempre acaba de poner $-3$ por todas partes veo $x$. Siento que estoy haciendo algo mal, pero parece correcto todo el tiempo.

Answer 1

(Tengo que poner esto en una camiseta. :)

Answer 2

La sustitución de "obras" muchas veces; que funciona, pero no siempre: $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\quad \text{${\bf sólo}$ when $f(x)$ is defined and continuous at $$}$$

y esta es la razón por la comprensión de que el límite de una función como el valor límite (o falta de la misma) al $x$ se aproxima a un valor concreto: llegar muy muy cerca de ese valor, es crucial. Es decir, $$\lim_{x \to a} f(x) \not\equiv f(a) \qquad\qquad\tag{"$\no \equiv$"$\;$ here meaning "not identically"}$$

E. g., su "método" no funciona para $\;\;\lim_{x\to -3} \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}\;\;$ hacia fuera.

Inmediata sustitución de $f(-3)$ evalúa a $\dfrac 00$ que es indeterminado: se necesita Más trabajo. Otros ejemplos se dan en los comentarios.

Cuando buscamos encontrar el límite de una función $f(x)$$x \to a$, estamos buscando el "valor límite" de $f(x)$ a medida que la distancia entre el $x$ $a$ crece cada vez más pequeño. Que el valor no es necesariamente el valor de $f(a)$.

Y la comprensión de la "límite" como el "valor límite" o la falta de, de una función es crucial para la comprensión de, por ejemplo, que el $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ requiere examinar el comportamiento de $f(x)$ $x$ consigue de forma arbitraria (cada vez más) grande, donde la evaluación de $f(\infty)$ encontrar el límite no tiene sentido y no tiene ningún significado.

Answer 3

Volvamos a la $\epsilon,\delta$ definición de un límite.

Vamos a una función de $f$ ser definida en un intervalo abierto que contiene el número real $c$. -Esto quiere decir que nosotros no vamos a hacer cosas tontas como tomar la raíz cuadrada de números negativos, etc. EN un intervalo alrededor de a $c$.

Deje $L$ ser un número real Auto-explicativo.

A continuación, $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ si y sólo si -Esto va a ser una declaración equivalente a lo que viene después.

Para cualquier número real $\epsilon>0$ -Lo que nos está permitiendo $\epsilon$ a ser tan absolutamente pequeño como queramos, siempre y cuando todavía es positivo.

Existe un número real $\delta$ con la siguiente propiedad -Listo para esto?

Para todos los $x$ si $0<|x-c|<\delta$ $|f(x)-L|<\epsilon$ -Esto significa que si $|x-c|$ (piense en ello como la distancia entre el$x$$c$) es menor que el número de $\delta$ $f(x)$ es arbitrariamente cerca de la real número $L$.

No estoy seguro de si esto fue muy útil, pero permítanme terminar lo que sugiere que usted mira para arriba de las representaciones visuales de los anteriores así como los efectos visuales de donde un límite no existe.

Answer 4

Uno de los límites más importantes es la definición de la derivada \lim_{h\to $$ 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h} $$ y no puede sustituir $h=0$ en esa fracción.