Difícil desigualdad Multivariable

Question

Dado 100% positivo números verdaderos $x_1, x_2, \cdots, x_n$que $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2>10000$ y $x_1+x_2+\cdots x_n\le 300$, demostrar que existen tres números de este conjunto que la suma de estos tres números es mayor que 100.

He probado usando multiplicadores de Lagrange y suavizado, pero parece no funcionar. Una "igualdad" se trata de $(100/3,...$(9 times) $..., 100/3,0,0,0...)$

Answer 1

Voy a probar la siguiente declaración, de que el problema se resuelve mediante el establecimiento $B=300$$n=100$.

Deje $S=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ ser un conjunto de $n \geq 3$ sin números negativos y deje $t=\sum_{i=1}^{n}x_i^2$ y $s=\sum_{i=1}^{n} x_i$. Supongamos que $s \geq \dfrac{B^2}{9}$$t \leq B$. Luego existen tres números en $S$ cuya suma es de al menos $\dfrac{B}{3}$.

Prueba:

Vamos $A=\dfrac{B^2}{9}$, $p_i=\dfrac{x_i}{s}$. Tenemos: $\sum_{i=1}^{n}{p_i}=1$$\sum p_ix_i= \dfrac{t}{s} \geq \dfrac{A}{B}$.

Por lo tanto podemos encontrar un número $x$ en el conjunto de valor, al menos,$\dfrac{A}{B}$.

La repetición de este argumento, podemos encontrar dos números más $y,z$ tal forma que:

$y \geq \dfrac{A-x^2}{B-x}$ $z \geq \dfrac{A-x^2-y^2}{B-x-y}$.

Tenemos que demostrar: $x+y+z \geq 3\dfrac{A}{B}$, para que voy a utilizar las siguientes afirmaciones.

Reivindicación 1: Vamos a $A,B> 0$ tal que $B^2>A$ y deje $f(x)=x+\dfrac{A-x^2}{B-x}$$g(x)=x+2\dfrac{A-x^2}{B-x}$. A continuación, $f$ es el aumento de al $x \leq B-\sqrt{\dfrac{B^2-A}{2}}$ $g$ es el aumento de al $x \leq 2B-\sqrt{3B^2-2A}$. En particular, si $B^2=9A$, $f,g$ son tanto el aumento al $x \leq \dfrac{B}{3}$.

Esta afirmación se demuestra mediante la diferenciación de $f,g$ y algunos de álgebra.

Reivindicación 2: Vamos a $A,B >0$, $A \leq B^2 \leq \dfrac{4A}{3}$ y $\sqrt{A} \geq x \geq \dfrac{A}{B}$; a continuación,$f(x)=x+\dfrac{A-x^2}{B-x} \geq 2\dfrac{A}{B}$, con un mínimo en $x=\dfrac{A}{B}$.

La prueba de la Reivindicación 2: Si $x \geq 2\dfrac{A}{B}$, se realiza debido a que el segundo término no es negativo, así que vamos a $x \leq 2\dfrac{A}{B}$. El uso de la reivindicación 1 para $f$ y algunos de álgebra, podemos ver que $f$ es creciente en este intervalo de $x$; por tanto, el mínimo es de a $x=\dfrac{A}{B}$.

Ahora vamos a probar el original deseada declaración de que $x+y+z \geq 3\dfrac{A}{B}$.

Si $x \geq \dfrac{B}{3}=3\dfrac{A}{B}$, hemos terminado, así que vamos a suponer que $x \leq \dfrac{B}{3}$.

Considere la posibilidad de $y+ \dfrac{A-x^2-y^2}{B-x-y}$: esto es, al menos, $2\dfrac{A-x^2}{B-x}$ mediante la aplicación de la Reivindicación 2 y la comprobación de que sus requisitos están cumplidos.

Por lo tanto $x+y+z \geq x+2\dfrac{A-x^2}{B-x}$.

De nuevo el uso de la Reivindicación 1 para $g$, podemos ver que $g$ es el aumento en el rango de $x$, por lo que su mínimo es de a $x=\dfrac{A}{B}$. Esto le da a $x+y+z \geq 3\dfrac{A}{B}=\dfrac{B}{3}$, lo que completa la prueba.