Norma de inverso inferior a 1.

Question

Solo quiero preguntar si lo que estoy haciendo aquí tiene sentido:

Sea$\epsilon$ un número positivo arbitrario. Al elegir$\epsilon$ y dejar que se acerque a 0, me gustaría tener$||(I-\epsilon A)^{-1}|| < 1$. Primero, considero que$\epsilon_0$ es tal que$\epsilon_0 < \frac{1}{||A||}$ luego puedo usar la expansión de Taylor para obtener:

$||(I-\epsilon_0 A)^{-1}|| = ||I + \epsilon_0 A + ...+ \epsilon_0^n A^n|| \leq ||I||+\epsilon_0 ||A ||+ \epsilon_0^2 ||A||^2 + ...$

Y puedo decir, para todos los$\epsilon < \epsilon_0$,

$||(I-\epsilon A)^{-1}|| < ||I||+\epsilon ||A ||+ \epsilon^2 ||A||^2 + ...$

Y cuando tomar$\epsilon$ se acerca a cero,$||(I-\epsilon A)^{-1}|| <1$.

Answer 1

No, no tiene sentido. Su trabajo es correcto hasta la línea$$\|(I-\epsilon A)^{-1}\|<\|I\|+\epsilon\|A\|+\epsilon^2\|A\|^2+\ldots \left(= f(\epsilon),\ \text{ say.}\right)\tag{1}$ $ Sin embargo, no puede inferir de$\|(I-\epsilon A)^{-1}\|<f(\epsilon)<f(\epsilon_0)$ que$\|(I-\epsilon A)^{-1}\|<1$ porque$f(\epsilon)$ no es menor o igual que$1$.

En realidad,$\|(I-\epsilon A)^{-1}\|$ puede ser mayor que$1$ para todos $\epsilon\neq0$. Por ejemplo, considere$A=\pmatrix{0&1\\ 0&0}$ con el operador$2$ - norma (es decir, el valor singular más grande).

Answer 2

Usando la notación $f(\epsilon)$, no creo que me refería: $||(I−\epsilon A)^{-1}||<f algo="">Desde $\epsilon_0

$||(I−\epsilon_0 A)^{-1}||

y entonces todos $\epsilon \leq \epsilon_0$, (que implica $\epsilon

$||(I−\epsilon A)^{-1}||

</f>