¿Existe alguna explicación o interpretación del concepto de los multiplicadores de Lagrange$\nabla f(x_0)= \delta \nabla g(x_0) $ para alguna constante$\delta$ y$f$ es una función diferenciable y g es la restricción de$f$. Sé que esto viene de la prueba y que he leído la prueba, pero ¿le da algún significado geométrico? Además, ¿es posible que$\nabla f(x_0)= \delta \nabla g(x_0) $ pero$x_0$ no dé puntos extremos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La restricción de que el $g(x)=0$ significa que el margen diferencial de los cambios en la $x$ son los perpendicular a $\nabla g(x)$. Es decir, para $x$ que se mueve en la "superficie", donde $g(x)=0$, $\mathrm{d}g(x)=0$; por lo tanto, $\mathrm{d}x\cdot\nabla g(x)=0$.
De modo que $f(x)$ es fijo para todos los admisible de cambios diferenciales en $x$ ($x$que se mueve en la "superficie" donde $g(x)=0$), queremos tener $\nabla f(x)$ paralelo a $\nabla g(x)$. De esa manera, para cualquier $\mathrm{d}x$, de modo que $\mathrm{d}x\cdot\nabla g(x)=0$ ( $\mathrm{d}g(x)=0$ ), también tenemos $\mathrm{d}x\cdot\nabla f(x)=0$ ($\mathrm{d}f(x)=0$).
Al $\nabla f(x)$ es paralelo a $\nabla g(x)$, hay un $\delta$, de modo que $\nabla f(x)=\delta\nabla g(x)$.
Sin embargo, es muy posible que $\nabla f(x)=\delta\nabla g(x)$ donde $x$ no es un punto extremal. Considere la posibilidad de $$ f(x,y,z)=z\text{ y }g(x,y,z)=x^2-y^2+z $$ donde $$ \nabla f(x,y,z)=(0,0,1)\text{ y }\nabla g(x,y,z)=(2x,-2y,1) $$ Tenga en cuenta que $\nabla f$ es paralelo a $\nabla g$ sólo al $x=y=0$. Ya que estamos limitados a $g(x,y,z)=0$, obtenemos el punto crítico a ser $(0,0,0)$. Tenga en cuenta que $f(0,0,0)=0$.
Considerar las curvas de $\gamma_1(t)=(t,0,-t^2)$$\gamma_2(t)=(0,t,t^2)$. Ambos satisfacen $g(\gamma_j(t))=0$$\gamma_j(0)=(0,0,0)$. Sin embargo, $f(\gamma_1(t))=-t^2\le0$$f(\gamma_2(t))=t^2\ge0$. Por lo tanto, $(0,0,0)$ no es extremal.
bea
Puntos
16
Imagínese caminando por un sendero a lo largo de la ladera de una montaña. Sin embargo, el camino no ir todo el camino a la cima, sino que serpentea alrededor de la hillslope y, a continuación, viene de regreso.
Estás de pie en el punto más alto de esta ruta (que no es el momento culminante de la montaña), pero usted no está satisfecho y quiere ir fuera de la pista para subir más alto. Desde donde estás de pie, relativa a la ruta, en qué dirección debe ir usted?
Esperemos que un poco de visualización le convencerá de que, en el momento culminante, la dirección de subida más empinada también es exactamente perpendicular a la pista.
Ahora, esto se relaciona con la matemática de la situación de la siguiente manera:
- el camino es el contorno de $g(x,y)=0$
- la dirección perpendicular a la pista es el vector de la $\nabla g$
- la altura de la montaña en el punto de $(x,y)$ $f(x,y)$
- la dirección de subida más empinada es el gradiente $\nabla f$
A continuación, en la analogía, la ecuación de $\nabla f(x_0,y_0)=\delta \nabla g(x_0,y_0)$ dice que la dirección de la subida más empinada es perpendicular a la pista en el punto culminante $(x_0,y_0)$. El escalares $\delta$ es un incremento constante en cuenta el hecho de que los vectores pueden ser en la misma dirección, pero tienen diferentes longitudes.
