Suprayectividad del mapa exponencial normal

Question

¿Dado una inmersión isométrica (en la forma Riemanniana) $f:N\rightarrow M$ Riemann completa, lisa colectores, existen condiciones en $M$, $N$, $f$, tales que el mapa exponencial normal $\mathrm{exp}^{\nu}:\nu(N)\rightarrow M$ es sobreyectiva?

Estoy interesado en el caso de $f$ no se cierra. Se da un ejemplo de suprayectividad no $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$, donde f es la espiral logarítmica. En este caso, el mapa exponencial normal pierde el origen.

Answer 1

Aquí es una prueba de la Voluntad Jagy sugerencia: $\def\dist{\operatorname{dist}}$

• Deje $M,N$ estar conectado completado sin problemas de Riemann colectores, y deje $f:N\to M$ ser un adecuado suave de asignación. Entonces el normal exponencial mapa es surjective.

Prueba: tenga en cuenta que $f(N)$ es cerrado en $M$. Para $y\in M$ elija $x_n\in N$ tal que $\dist^N(y,f(x_n))< \dist^N(y,f(N))+\frac1n$. A continuación, $x_n$ es la inversa de la imagen en $f$ de la cerrada geodésica pelota con radio 2 centrado en $f(x_1)$, que es un conjunto compacto en $N$. Por lo tanto $(x_n)$ contiene una larga que converge a $x\in N$. A continuación,$\dist^N(y,f(x))=\dist(y,f(N))$. Elegir un mínimo geodésica de$f(x)$$y$. Golpea $f(N)$ ortogonalmente en $f(x)$, porque de lo contrario se puede acortar de forma local por la rotura de una geodésica usando Gauss' lexema. Para que tenga en cuenta que $f$ es una incrustación en un barrio de $x$. Por lo tanto el normal exponencial mapa ha $y$ en su imagen.