Orden normal de orden Normal

Question

en el primer volumen de Polchinski página 39 podemos leer un compacto fórmula para realizar normales de orden para bosonic campos $$ :\cal F:=\underbrace{\exp\left\{\frac{α'}{4}∫\mathrm{d}^2z\mathrm{d}^2\log|z-w|^2\frac{d}{δφ(z,\barra z)}\frac{d}{δφ(w,\bar zw)} \right\}}_{:=\mathcal{O}}\cal F, \etiqueta{1} $$

Lo que no entiendo es que me gustaría tener (teniendo en cuenta la definición que involucra $a$ $a^†$ $$ ::\cal F::=:\cal F:\tag{2} $$ pero con esta fórmula $$ \cal O^2\cal F≠\cal O \cal F.\etiqueta{3} $$

EJEMPLO

$$ :φ(z)φ(w):=f(z)f(w)-\frac{α'}{2}\log|z-w|^2\etiqueta{4} $$ pero $$ ::φ(z)φ(w)::=:φ(z)φ(w):-\frac{α'}{2}\log|z-w|^2=φ(z)f(w)-α'\log|z-w|^2\etiqueta{5} $$

Answer 1

1. Breve explicación: Polchinski del eq. (1) es no una fórmula que transforma ningún orden normal en orden normal: La expresión ${\cal F}$ en el lado derecho de la ecuación. (1) se supone implícitamente que radialmente ordenado. De hecho, eq. (1) es un teorema de Wick para cambiar radial de orden en orden normal, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

2. Más explicación: Cuando se trata con los no-conmutativa operadores, decir $\hat{X}$$\hat{P}$, "la función de los operadores" $f(\hat{X},\hat{P})$ no tiene sentido a menos que uno especifica un operador de ordenar la prescripción (como, por ejemplo, radial pedido, el tiempo de los pedidos, la Mecha/normal de ordenar, Weyl/simétrica de pedidos, etc.). Una más rigurosa es introducir una correspondencia mapa $$\begin{array}{c} \text{Symbols/Functions}\cr\cr \updownarrow\cr\cr\text{Operators}\end{array}\etiqueta{A}$$ (E. g. la correspondencia mapa de Weyl símbolos a los operadores que se explica en este Phys.SE post.) Para definir un operador $\hat{\cal O}$ a los operadores, a menudo dar el correspondiente operador ${\cal O}$ sobre los símbolos y funciones, es decir, $$ \begin{array}{ccc} \text{Normal-Ordered Symbols/Functions}&\stackrel{\cal O}{\longrightarrow} & \text{Radial-Ordered Symbols/Functions} \cr\cr \updownarrow &&\updownarrow\cr\cr \text{Normal-Ordered Operators}&\stackrel{\hat{\cal O}}{\longrightarrow} & \text{Radial-Ordered Operators}\end{array}\etiqueta{B}$$ E. g. Polchinski diferencial de operador ${\cal O}$ hace estrictamente hablando, sólo tienen sentido si se actúa sobre los símbolos y funciones. La identificación (A) de símbolos y operadores implícitamente está implícita en Polchinski.

3. Respecto de idempotencia de la normal de ordenar, ver también por ejemplo, esta relacionado con Phys.SE post.

Answer 2

La aplicación normal de ordenar dos veces es que no es una operación válida. De hecho, la "normal de ordenar" no es un buen operador en todo, y sólo se define en un solo producto de los operadores. Es indefinido cuando se actúa sobre la suma de los operadores, ya que el intento de ampliar de manera lineal falla: $$ :a a^\dagger: = : a^\dagger a + 1 : = :a^\dagger a: + :1: = a^\dagger a + 1 \neq a^\dagger a = :a a^\dagger,$$ lo cual es una contradicción. Sin embargo, $\mathcal{O}$ claramente es un operador lineal, y por lo tanto la ecuación de $: F : = \mathcal{O} F$ es solo para mantener al $F$ es un producto de los operadores, pero no su suma.

Si examina el contraejemplo a la linealidad de arriba, usted se dará cuenta de que esto significa que los normales de pedido no se ha definido como una función en el sentido matemático de los operadores del todo, ya que en $a a^\dagger = a^\dagger a +1$ l.h.s. y la r.h.s. son el mismo objeto matemático, sin embargo, la normal de ordenar sólo puede ser aplicada a uno de ellos. Lo mejor es pensar que de normal de ordenar como actuar en símbolos, por que me refiero a las cadenas compuestas de $a$$a^\dagger$. Cada operador tiene, si es que se puede escribir como un producto de $a$ $a^\dagger$ sin ningún suma, exactamente un ejemplo de la representación, de modo que existe una bien definida mapa de los operadores de esos símbolos, a los que se puede aplicar normal de ordenar y, a continuación, encienda de nuevo a los operadores de nuevo.