¿Cuántos no el aumento de las secuencias hay más de los números naturales? Al dividirlo por categorías, en cierto modo me tengo tiene que ser $\aleph_0$. Sin embargo, no he visto una pregunta y por lo tanto no sé si estoy correcto en mi resultado. Agradecería su ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Estás en lo correcto.
Dado que las secuencias no están aumentando, que contienen un mínimo elemento. Mediante la adición de $1$ a cada entrada, tiene un bijection entre las secuencias con el mínimo elemento de $n$ y aquellos con un mínimo de elemento $n+1$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que las secuencias con el mínimo elemento de $0$ son contables, debido a que el contable de la unión de conjuntos contables es contable. Estas secuencias son secuencias de longitud finita (es decir, el índice de la última distinto de cero de la entrada), y por el mismo argumento anterior es suficiente para mostrar que las secuencias de una longitud fija $\ell$ formar una contables conjunto. Pero, en realidad, el conjunto de secuencias de longitud $\ell$ es sólo $\mathbb N^\ell$, que es contable.
Hagen von Eitzen
Puntos
171160
Deje $(a_k)_k$ ser una secuencia y deje $m=\inf\{\,a_k:k\in\mathbb N\,\}$. Entonces casi todos los $a_k$ igual $m$, y podemos "codificar" la secuencia infinita escribiendo sólo la inicial hasta la primera aparición de $m$. De esta manera, el conjunto de nonincreasing secuencias puede ser visto como subconjunto del conjunto de secuencias finitas, que es contable.
Vincent
Puntos
5027
Llamar a una secuencia de $(u_1,u_2,\ldots)$ $n$-acotado si
- $u_1 \le n$, y
- para todos los $m > n, u_m = u_n$.
A continuación, todos los no-el aumento de las secuencias de $n$-limitada para algunos $n$, y para cualquier $n$, el número de $n$limitado de secuencias es finito. Por lo que el número de no-aumento de las secuencias es contable.
GmonC
Puntos
114
A una débil disminución de la secuencia $a=(a_n)_{n\in\Bbb N}$ uno puede asociar una función de $f(a):\Bbb N\to\Bbb N\cup\{\omega\}$ asignación de $m\mapsto\#\{\, n\in\Bbb N\mid a_n>m\,\}$. Uno puede recuperar* $a$$f(a)$, e $f(a)$ toma sólo un número finito de valores distintos de cero, por lo que el número de posibilidades para $f(a)$ son contables. (De hecho, $f$ establece un bijection para el conjunto de débilmente la disminución de las funciones de $\Bbb N\to\Bbb N\cup\{\omega\}$ finito de apoyo.)
*Uno ha $a_n=\#\{ \,m\in\Bbb N \mid f(m)>n\,\}$ todos los $n$, teniendo en cuenta que $0\in\Bbb N$.
CodingBytes
Puntos
102
Con el fin de fijar las ideas denotan una secuencia por ${\bf x}=(x_0,x_1,x_2,\ldots)$$x_0\geq x_1\geq \ldots\geq0$. Tenga en cuenta que sólo un número finito de diferencias $x_{k-1}-x_k$$\geq1$. Deje $S$ ser el conjunto de todas estas secuencias.
Deje $(p_k)_{k\geq1}$ ser la secuencia de los números primos. Entonces $$\phi:\quad S\to{\mathbb N}_{\geq1}, \qquad{\bf x}\mapsto 2^{x_0} \>\prod_{k=1}^\infty p_k^{\>x_{k-1}-x_k}$$ es inyectiva. Esto demuestra $\#(S)=\aleph_0$.
