¿Es la norma de un operador integral la norma esencial de su núcleo?

Question

¿Es cierto lo siguiente?

Dejemos que $\mu$ sea una medida de probabilidad y que $k\in L_\infty(\mu \otimes \mu)$ . Definir el operador $T_k\colon L_1(\mu)\to L_1(\mu)$ por $$(T_kf)(t) = \int k(t,x)f(x)\,\mu({\rm d}x).$$ Entonces $\|T_k\|=\|k\|_{L_\infty(\mu \otimes \mu)}$ .

Answer 1

No creo que sea cierto lo que quieres de referencia. La estimación $\Vert T_k \Vert \leq \Vert K \Vert_{L^\infty}$ es trivial, pero la otra estimación falla en general, lo que puede verse como sigue:

Por Fubini, \begin{align*} &\Vert T_k f \Vert_{L^1} \\ &\leq \int |f(x)| \int |k(t,x)| d\mu(t) d\mu(x) \\ & \leq \Vert f \Vert_{L^1} \cdot \mu-\mathrm{esssup}_x \int |k(t,x)| d\mu(t). \end{align*}

Ahora considere en $(0,1)$ con medida de Lebesgue el núcleo $$ k(t,x) = \frac{1}{x} \cdot 1_{t <x}. $$ Entonces la integral de arriba satisface $$ \mu-\mathrm{esssup}_x \int |k(t,x)| d\mu(t)=1, $$ pero $\Vert k\Vert_{L^\infty} = \infty$ . Me he dado cuenta de que requiere $k \in L^\infty$ pero debería ser fácil adaptar mi contraejemplo en consecuencia.