Atascado en problema de inducción

Question

He tenido más de un día de dificultad con este problema. He visto muchos vídeos de youtube en la inducción y no han sido capaces de resolver este problema en particular. Agradecería consejos útiles. Aquí está la pregunta:

Probar: $$\forall n\gt 1, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\frac{(n(n+1)(n+2))}{3}$$

He mostrado mi trabajo a continuación. Agradecería algunos consejos y orientación.

Mi Intento:

$$1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\frac{(n(n+1)(n+2))}{3}$$ Caso Base: $n=1$ $$1(1+1)=\frac{(1(1+1)(1+2))}{3}$$ $$2=\frac{6}{3}=2$$

El caso base de las obras.

Inducción De La Hipótesis: $n=k$

$$1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=\frac{(k(k+1)(k+2))}{3}$$

Asumir la Hipótesis de Inducción es cierto para $k$.

A continuación, se muestra: $$\frac{(k(k+1)(k+2))}{3}+(k+1)=\frac{k^2+6k+3}{3}$$

Me quedo muy confundido tratando de aplicar la hipótesis inductiva aquí porque es difícil para el tratamiento de la $n(n+1)$$n$, ya que implica la multiplicación.

De nuevo. Agradecería sugerencias o incluso una explantación de este problema, ya que he ejercido mis recursos en YouTube y leer el texto por más de un día.

Answer 1

El paso inductivo consiste en mostrar que$$\frac{n(n+1)(n+2)}3+(n+1)(n+2)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}3,$ $ que no debería ser demasiado difícil.

Answer 2

Te ves muy bien hasta aquí.

Supongamos:$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+k(k+1)=\frac{(k(k+1)(k+2))}{3}$

Debemos mostrar que:

$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) = \frac{(k(k+1)(k+2))}{3}+(k+1)(k+2)\ $ por la hipótesis inductiva.

En lugar de multiplicar todo, observe que$(k+1)(k+2)$ es un factor común.

$ (k +1) (k +2) (\ frac {k} {3} + 1) \\ \ frac {(k +1) (k +2) (k + 3)} {3} \\ $

Answer 3

Hipótesis inductiva: -

Supongamos que$P(k)$ es verdadero

$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+.....+\sum _{ n=1 }^{ k }{ n(n+1) } =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

Ahora demuestra que la hipótesis inductiva es cierta. Muestre que$P(k+1)$ es verdadero$$\sum _{ n=1 }^{ k+1 }{ n(n+1) } =\frac{k+1(k+1+1)(k+1+2)}{3}=\frac{k+1(k+2)(k+3)}{3}$ $ Ahora,$$\sum _{ n=1 }^{ k+1 }{ n(n+1) }=\sum _{ n=1 }^{ k }{ n(n+1) }++(k+1)(k+1+1)$ $$$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$ $$$=\frac{k\color{red}{(k+1)(k+2)}+3\color{red}{(k+1)(k+2)}}{3}$ $$$=\frac{(k+1)(k+2)}{3}[k+3]$ $$$=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ $

Por el principio de inducción matemática$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+.....+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$