Dado que sé que el punto de coordenadas de la A y B en el segmento AB y la duración prevista de un perpendicular del segmento CD cruzando la mitad de AB, ¿cómo calcular las coordenadas del punto del segmento CD?
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pix0r
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Sabiendo que las coordenadas de a y B, usted puede encontrar la pendiente de la recta AB y las coordenadas del punto medio M del segmento AB. Las pendientes de rectas perpendiculares tienen producto -1, así que usted puede utilizar la pendiente de AB para encontrar la pendiente de CD. Con este pendiente y el punto M, se puede escribir una ecuación para la línea de CD.
El problema aquí es que los puntos C y D podrían estar en cualquier lugar en esa línea, mientras que la longitud dada aparte, por lo que sospecho que hay un poco de falta de información. Si M es el punto medio de CD (de manera que AB y CD son las mediatrices de cada uno de los otros), entonces C y D son cada uno la mitad de la longitud dada de M, así que usted puede escribir una ecuación para el círculo con el radio de la mitad de la longitud y del centro de M, y se encuentra en la línea CD cruza el círculo (resolver el sistema de las dos ecuaciones).
WaldenL
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Bueno, no soy muy bueno para probar cosas, pero aquí va mi intento. Este es un resultado general para cuando no sabemos en uno de los extremos de $\overline{CD}$.
Tenemos puntos de $A(a_x,a_y)$$B(b_x,b_y)$, y la longitud de la mediatriz $d$. Deje que el punto medio de la $\overline{AB}$$\displaystyle M\left(\frac{a_x+b_x}{2},\frac{a_y+b_y}{2}\right)$, y dejar que el punto de $Q$ ser el punto de $d$ unidades, lejos de la $M$ a lo largo de la bisectriz perpendicular $\overline{QM}$.
La pendiente de $\overline{AB}$$\displaystyle\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}$, por lo que la pendiente de la mediatriz es $\displaystyle -\frac{b_x-a_x}{b_y-a_y}$. La ecuación de la mediatriz en formato vectorial es la colección de todos los puntos de $P$ donde $P(t)=M+\langle a_y-b_y,b_x-a_x \rangle t$, $t \in \mathbb{R}$ ($M$ siendo el punto medio de la $\overline{AB}$). Ahora, haciendo que el vector en un vector unitario es mucho más fácil, y dado que la magnitud del vector ($\sqrt{(a_y-b_y)^2+(b_x-a_x)^2}$) es simplemente la longitud de la $AB$, podemos decir que el punto de la ecuación es $P(t)=M+\frac{1}{AB}\langle a_y-b_y,b_x-a_x \rangle t$, y por lo tanto el punto de $Q$ sería el punto devuelto por la ecuación al $t=d$.
Todas las posibilidades para los puntos de $C$ $D$ puede ser encontrado por encontrar el número correcto de $t$; es decir, el primer punto de $P(t)$ en el rango de $t \in [-d,0]$ ($t = 0$ lo que es el punto medio de la $\overline{AB}$), y el segundo punto, a continuación, ser $P(t+d)$.
Me corrija en cualquier modo que sea necesario! Me siento como que $P(t)$ ecuación se dan todos los puntos de posible si utiliza el rango correcto.
Nota: creo que una ventaja de este método es que si la pregunta se plantea algo así como encontrar los extremos de la mediatriz con una cierta longitud, donde $C$ era, digamos, $\frac{2}{7}$ths de la distancia a lo largo de la línea de lejos, todo lo que tendría es conectar $t=\pm\frac{2d}{7},\mp\frac{5d}{7}$.
Comentario: Vamos a $M$ ser el punto medio de la $[CD]$. Supongo que $M$ pertenece a $[AB]$, como se muestra arriba. Si no es el caso, entonces esta es sólo una solución particular. [La suposición es correcta, como se comenta por la OP].
Deje que $A\left( x_{A},y_{Un}\right) ,B(x_{B},y_{B}),C(x_{C},y_{C}),D(x_{D},y_{D}) $ be the four points. By translation and rotation of the $x,y$ ejes, como se muestra en la figura se puede centrar $[A,B,C,D]$. La traducción corresponde a la cambio de variables
$$x=\overline{x}+X,\qquad y=\overline{y}+Y,$$
donde
$$\overline{x}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\qquad\overline{y}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2},$$
y la rotación corresponde a
$$X=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta,\qquad Y=x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta ,$$
donde
$$\theta =\arctan \dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.$$
La combinación de ambas transformaciones, tenemos
$$x=\overline{x}+x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta,\qquad y=\overline{y}+x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta .$$
Denota la distancia entre los puntos de $C$ $D$ $\overline{CD}=d_{CD} $, tenemos
$$x_{C}^{\prime }=x_{D}^{\prime }=0\qquad y_{C}^{\prime }=\dfrac{d_{CD}}{2}\qquad y_{D}^{\prime }=-\dfrac{d_{CD}}{2}.$$
Utilizando las anteriores transformaciones obtenemos
$$C=\left( x_{C},y_{C}\right) =\left( \overline{x}-\dfrac{d{CD}}{2}\pecado \theta ,\overline{y}+\dfrac{d{CD}}{2}\cos \theta \right) $$
$$D=\left( x_{D},y_{D}\right) =\left( \overline{x}+\dfrac{d{CD}}{2}\pecado \theta ,\overline{y}-\dfrac{d{CD}}{2}\cos \theta \right) ,$$
donde $\overline{x}$ $\theta $ son dadas anteriormente.
